ГЛАВА 2
Непрерывное и дискретное описание диффузионного транспорта частиц
Динамика движения броуновской частицы в некотором потенциале определяется
функцией распределения , которая удовлетворяет уравнению Смолуховского. В
начале этой главы приведен вывод уравнения Смолуховского и детально рассмотрен
случай стационарного состояния системы, находящейся в поле действия
периодического потенциала (в частности, пилообразного) и приложенной внешней
силы. Далее последовательно вводится кинетическое описание для моделей
молекулярных моторов с флуктуирующими периодическими двухъямными потенциалами,
которое позволяет получить простые оценки потока и эффективности. Такое
кинетическое описание адекватно описанию свойств электроконформационной модели,
используемой для расчетов потоков частиц через биологические мембраны под
действием приложенного переменного электрического поля. Использование
феноменологического подхода Кедема, обсуждаемого в последнем параграфе этой
главы, позволяет оценить эффективность работы мотора вблизи равновесия.
§1. Уравнение Смолуховского и его решения
Рассмотрим движение броуновской частицы массы , которая движется в поле
потенциала в вязкой среде с коэффициентом трения .
Движение броуновской частицы, которая испытывает случайные удары со стороны
частиц среды, описывется уравнением Ланжевена:
, (2.1)
где — некоторая обобщённая случайная сила, в среднем равная нулю, описывающая
соударения с частицами среды:
, , (2.2)
Так как мы рассматриваем движение бруновской частицы в вязкой среде, считаем,
что инерционным членом в уравнении (2.1) можно пренебречь и записать уравнение
Ланжевена в виде
. (2.3)
Введём функцию распределения бруновских частиц как среднее по ансамблю от
микроскопического рапределения:
, . (2.4)
Запишем уравнение непрерывности для микроскопического распределения
. (2.5)
После подстановки в уравнение (2.5) уравнения Ланжевена (2.3) и последующего
усреднения получаем:
. (2.6)
Для того, чтобы найти неизвестное выражение , представим микроскопическую
функцию распределения как сумму усреднённой функции распределения и некоторой
малой добавки
, (2.7)
тогда . Подставив в уравнение (2.6) выражение для малой добавки и пренебрегая
малыми членами, получаем следующее уравнение:
, (2.8)
откуда после после усреднения и интегрирования по времени можно найти искомое
слагаемое
(2.9)
и, после подстановки в (2.6), получить следующее уравнение:
. (2.10)
Полученное уравнение называется уравнением Смолуховского для функции
распределения вероятности пространственного нахождения броуновской частицы.
В этом уравнении можно выделить выражение для потока:
. (2.11)
Тогда уравнение Смолуховского можно записать в виде
. (2.12)
Рассмотрим частный случай равновесного состояния системы, для которого
. (2.13)
В таком случае, приравнивая к нулю выражение для потока (2.11), получаем
уравнение
, (2.14)
решением которого является функция распределения вероятности нахождения
броуновской частицы для равновесного состояния системы, или распределение
Больцмана:
. (2.15)
Коэффициент , стоящий в знаменателе показателя экспоненты, имеет размерность
энергии и определяется как (kB – постоянная Больцмана, – абсолютная
температура), а коэффициент , стоящий в уравнении Смолуховского при члене ,
является коэффициентом диффузии . Константу можно определить из условия
нормировки функции распределения
. (2.16)
Тогда получим функцию равновесного распределения частиц
. (2.17)
Для многих задач удобным является следующее выражение для потоков
, (2.18)
где – обратная температура. Выражение (2.18) легко приводится к виду (2.11),
или, если ввести коэффициент диффузии, к виду
. (2.19)
Следуя известной книге Рискина [94], рассмотрим теперь стационарное движение
броуновской частицы в поле некоторого потенциала , периодического по с
пространственным периодом , и приложенной внешней постоянной силы нагрузки . В
стационарном случае функция распределения не зависит от времени, , и, согласно
уравнению Смолуховского (2.12), поток
, (2.20)
.
Запишем выражение для потока (2.19):
, . (2.21)
Мы получили дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции
распределения . Решением дифференциального уравнения (2.21) является
стационарная функция распределения броуновских частиц следующего вида
, (2.22)
Поток и неизвестную константу можно найти, используя условия периодичности
(2.23)
и нормировки (2.16) для функции распределения. Проинтегрировав по выражение
(2.22), учитывая условия (2.16) и (2.23), получим поток в виде
. (2.24)
Эту же формулу для потока можно переписать в более простом виде, представив
потенциал как :
. (2.25)
Подставляя найденное выражение для потока (2.25) в выражение для функции
распределения (2.22) и пользуясь условиями нормировки (2.16) и периодичности
(2.23), получаем стационарную функцию распределения вероятности нахождения
частиц:
. (2.26)
Перейдем теперь к рассмотрению движения броуновской частицы в поле
стационарного пилообразного асимметричного потенциала , периодического по :
(2.27)
, (2.28)
и внешней приложенной силы , которая в общем случае запишется в виде:
, (2.29)
где — постоянная сила нагрузки, а — добавка, зависящая от времени, так
называемая «сила качания» в МФС [95]. Рассмотрим ситуацию, когда принимает
только два значения, и и имеет нулевое среднее значение. Если
- Київ+380960830922