РАЗДЕЛ 2
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СТРУКТУРНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ГИБКИХ АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ ЛИНИЙ,
СОДЕРЖАЩИХ МЕЖОПЕРАЦИОННЫЕ НАКОПИТЕЛИ
2.1 Модель накопительного элемента ГАЛ
2.1.1 Описание методики построения моделей накопителей ГАЛ на базе систем
массового обслуживания с использованием непрерывных вероятностных приближений
При построении моделей гибких автоматизированных линий один из важных вопросов
касается анализа параметров их структурных элементов, содержащих
межоперационные накопители. Адекватным математическим аппаратом для описания
функционирования накопителей являются системы массового обслуживания (СМО)
[26,38,59].
Построение математических моделей средств, создающих заделы продукции, вызывает
необходимость решения задачи исследования одноканальной СМО с ограничением по
длине очереди при распределениях времен поступления заявок в систему и времен
их обслуживания общего вида (в соответствии с символикой Кендалла таким
системам сопоставляется обозначение G/G/1/К). Структура элемента ГАЛ,
представляющего собой подобную систему, показана на рис. 2.1.
Рис. 2.1. Структура элемента ГАЛ, содержащего межоперационный накопитель
Интенсивность потока заявок, поступающих в систему, формирует технологическая
ячейка с присоединенными к ней слева остальными частями ГАЛ. Интенсивность
потока обслуживания заявок, находящихся в -м накопителе (), формирует с частями
линии, присоединенными к ней справа.
Известно, что в любой СМО процессы поступления и обслуживания заявок в
зависимости от времени являются вероятностными функциями со скачками (рис.
2.2), изменяющимися на единицу. Для оценки работы системы допустимо
использовать следующее приближение: когда система находится в условиях большой
нагрузки, можно заменить эти скачки сглаженными непрерывными временными
функциями. Такая аппроксимация возможна, потому что величины отдельных скачков
малы по сравнению со средними значениями функций. Таким образом, дискретная СМО
аппроксимируется непрерывным вероятностным приближением [26,36].
Рис. 2.2. Вид функций, характеризующих процессы поступлений
и уходов заявок
Известно, что в любой момент времени количество требований, находящихся в
системе равно
где - количество поступлений на интервале ;
- количество уходов на интервале ; .
В случае, когда можно ожидать небольших относительных отклонений случайных
величин и от их средних значений и , то число требований в системе может
определяться равенством и представлять собой непрерывную функцию времени. В
этом случае, когда вероятностные процессы заменяются их средними значениями,
зависящими от времени, получается непрерывное приближение СМО первого порядка.
Более точные результаты можно получить, если рассмотреть флуктуации этих
процессов относительно их среднего значения. Этого можно достичь, вводя их
дисперсии и . Рассматривая указанные флуктуации в описании их при помощи
нормального распределения, можно показать, что для системы G/G/1/K среднее
значение и дисперсия равны [26,36]
где - интенсивности и дисперсии процессов поступлений заявок в систему и их
уходов из системы соответственно.
Такое приближение называется диффузионной аппроксимацией рассматриваемой СМО, а
процесс, протекающий в системе, аппроксимируется процессом с непрерывным
временем и непрерывным множеством состояний [22,36]. Исследуем дифференциальные
уравнения в частных производных для рассматриваемого процесса. Рассмотрим
условные переходные вероятности непрерывных состояний процесса :
при .
Эти переходные вероятности удовлетворяют уравнению Чепмена-Колмогорова:
где .
Допустим, что существуют непрерывные производные (). Введем условное среднее
значение и условные центральные моменты , где условие задается положением
процесса в некоторый предшествующий момент времени . Эти величины определяются
соотношениями [26]:
Введем также инфинитезимальные моменты , которые определяют скорости изменения
по в точке [26]
, .
Прямое уравнение для плотности распределения вероятностей, также
удовлетворяющей уравнению Чепмена-Колмогорова и равной , известно как уравнение
Фоккера-Планка [26]
, (2.1)
в котором - инфинитезимальные характеристики -го порядка.
При соответствующих граничных условиях уравнение (2.1) справедливо не только
для плотности , но и для функции [26]
. (2.2)
Приближение второго порядка уравнения (2.2), когда ненулевыми считаются первых
два члена ряда, стоящего в его правой части, является диффузионным уравнением
или прямым уравнением Колмогорова [36]
, (2.3)
где - инфинитезимальное среднее;
- инфинитезимальная дисперсия распределения количества заявок в
системе.
Предполагается, что величины являются постоянными и равны [22,36]
; (2.4)
. (2.5)
В этом случае уравнение (2.3) можно представить в виде
. (2.6)
Для получения частных решений (2.6) вводятся следующие граничные условия
(2.7)
и начальное условие
(2.8)
которые выбираются исходя из определения функции распределения, и по своему
физическому смыслу соответствуют функционированию межоперационных накопителей (
- количество заявок в системе в момент времени ) [36].
Решением диффузионного уравнения (2.6) с краевыми условиями (2.7) и
- Київ+380960830922