РОЗДІЛ 2
ТОЧНІ РОЗВ’ЯЗКИ НЕОДНОМІРНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ТЕОРІЇ ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ В РАМКАХ
РЕЛАКСАЦІЙНОЇ МОДЕЛІ
В цьому розділі наведено розв’язки ряду неодномірних лінійних крайових задач
релаксаційної теорії теплопровідності, як в прямокутній декартовій системі
координат, так і в сферичній системі.
2.1. Температурні поля в плоских однорідних областях з урахуванням теплової
нерівноважності
Розглянемо спочатку випадок однорідної площини.
Задача про структуру нестаціонарного температурного поля площини в рамках
розглядуваної математичної моделі зводиться до побудови обмеженого в
області
розв’язку рівняння з частинними похідними третього порядку
(2.1)
за початковими умовами
(2.2)
Застосуємо до задачі (2.1), (2.2) подвійне перетворення Фур’є щодо
геометричних змінних та вигляду
(2.3)
Внаслідок цього отримуємо задачу Коші:
(2.4)
(2.5)
де - зображення Фур’є відповідно правої частини розглядуваного
рівняння та початкових умов, .
Безпосередньо перевіряється, що розв’язком задачі (2.4), (2.5) є функція
(2.6)
де
(2.7)
Переходячи в співвідношенні (2.6) до оригиналів з урахуванням формул
обернення [ 88 ], в результаті елементарних перетворень одержуємо функцію,
яка описує структуру нестаціонарного температурного поля площини з
урахуванням теплової нерівноважності середовища
(2.8)
Зауважимо, що при з співвідношення (2.8) одержуємо функцію, що
описує структуру нестаціонарного температурного поля площини в рамках
моделі узагальненої термомеханіки [164 ].
Зупинимось на питанні розрахунку, в рамках розглядуваної моделі,
температурного поля півплощини.
Задача визначення нестаціонарного температурного поля верхньої півплощини
зводиться до розв’язування рівняння (2.1) за початковими
умовами (2.2) і граничними умовами ()
(2.10)
Інтегральний оператор Фур’є за змінною х
(2.11)
задачі (2.1), (2.2), (2.10) ставить у відповідність задачу побудови обмеженого
в області розв'язку рівняння
(2.12)
за початковими
(2.13)
і граничними умовами
, (2.14)
Визначимо на декартовій півосі інтегральне перетворення Фур’є [80, 88]
(2.15)
де.
Інтегральній оператор (2.15) задачі (2.11)-(2.14) ставить у відповідність
задачу Коші:
(2.16)
(2.17)
де
Розв’язок задачі (2.16), (2.17) дається співвідношенням
(2.18)
де позначено
Повертаючись в співвідношенні (2.18) до оригіналів, одержуємо розв’язок
розглядуваної задачі у вигляді:
(2.19)
де позначено
(2.20)
.
Тут G –функція Гріна породжена дією теплового режиму на межі y=0
півплощини, Е –фундаментальна функція, породжена дією початкового
теплового імпульсу. Зауважимо, що при з співвідношення (2.19)
одержуємо функцію, що описує структуру нестаціонарного температурного
поля півплощини в рамках моделі узагальненої термомеханіки [164].
Далі розглянемо задачу визначення, в рамках розглядуваної моделі,
температурного поля напівобмеженої смуги.
Задача про структуру нестаціонарного температурного поля в верхній
напівобмеженій смузі математично приводить до побудови обмеженного в
області розв’язку
рівняння (2.1) за початковими умовами (2.2) і граничними умовами
(2.21)
(2.22) (2.23)
Застосуємо до задачі (2.1), (2.2), (2.21) – (2.23) інтегральне перетворення
Фур’є
на декартовій півосі за правилом [60, 80, 88, 177, 183] :
(2.24)
де
Інтегральний оператор (2.24) розглядуваній задачі ставить у відповідність
задачу побудови обмеженого в області
розв'язку рівняння
(2.25)
за початковими
(2.26)
та граничними умовами
(2.27)
Тут функція
-зображення Фур’є функцій відповідно.
Визначимо на проміжку [0,b] скінченне інтегральне перетворення Фур’є згідно
співвідношення [88]
(2.28)
де спектральна функція визначається співвідношенням
-корені трансцендентного рівняння .
Інтегральний оператор (2.28) задачі (2.25)–(2.27) ставить у відповідність
задачу
Коші:
(2.29)
(2.30)
де
.
Розв’язок задачі (2.29), (2.30) дається співвідношенням
(2.31)
де позначено
Повертаючись у співвідношенні (2.31) до оригіналів, одержуємо розв’язок
розглядуваної задачі у вигляді
(2.32)
де позначено:
При відомих функціях співвідношення (2.32) повністю
визначає структуру нестаціонарного температурного поля в верхній
напівобмеженій смузі в рамках розглядуваної моделі.
На завершення розглянемо задачу визначення температурного поля
прямокутника. Задача про структуру нестаціонарного температурного поля в
однорідному прямокутнику в рамках розглядуваної моделі, зводиться до
побудови обмеженого в області
розв’язку рівняння (1.1) за початковими умовами (1.2) та граничними умовами
(2.33)
(2.34)
Застосуємо до задачі (2.1), (2.2), (2.33), (2.34)
скінченне інтегральне перетворення Фур’є щодо геометричної змінної у згідно
співвідношення (2.28). Отримаємо задачу побудови обмеженного в області
розв’язку рівняння
(2.35)
за початковими
- Київ+380960830922