ГЛАВА 2
УЧЕТ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА И СВОЙСТВ СИММЕТРИИ
МУЛЬТИПЕРИФЕРИЧЕСКИХ АМПЛИТУД
РАССЕЯНИЯ
Целью этой главы является учет свойств мультипериферических амплитуд
неупругого рассеяния, используя которые можно максимально упростить последующее
численное и аналитическое решение задачи на условный экстремум для квадратов
модулей таких амплитуд.
Амплитуда рассеяния, соответствующая по правилам фейнмановской диаграммной
техники диаграмме на рис. 1.10б, выражается с помощью соотношений (1.34) и
(1.35). Для решения задачи о существовании и нахождении условного максимума для
квадрата модуля этой амплитуды важно, что скалярные квадраты четырехимпульсов
виртуальных частиц (виртуальности), входящие в знаменатели выражения (1.35),
являются отрицательными в физической области рассматриваемого неупругого
процесса (см. разд. 2.1). Это означает, что ни один из знаменателей выражения
(1.35), в физической области не обращается в ноль. Поэтому малые величины могут
быть устремлены к нулю еще до начала расчетов. При этом величина , определяемая
соотношением (1.35) перейдет в действительную и положительную величину, которая
отличается от амплитуды рассеяния только постоянным множителем, входящим в
(1.34) (по этой причине в дальнейшем величину мы, также как и , будем называть
амплитудой рассеяния). Поэтому точка условного максимума квадрата модуля
амплитуды рассеяния, входящего в выражение для сечения (1.32), совпадает с
точкой условного максимума функции , определенной (1.34). В дальнейшем будет
рассматриваться задача об условном экстремуме функции , при условии, что ее
аргументы удовлетворяют системе уравнений, выражающих законы сохранения
компонент четырехвектора энергии-импульса, а также условие массовой поверхности
для каждой частицы. В разд. 2.2 производится учет этих уравнений, т.е. часть
величин, составляющих аргументы функции , выражается через остальные величины
из соответствующей системы уравнений, и эти выражения подставляются в (1.34).
После этого функция представляется уже как функция от независимых переменных, и
для нее можно искать “обычный”, а не условный экстремум.
Прежде, чем численно решать такую задачу, ее можно существенно упростить,
учитывая свойства симметрии диаграммы на рис. 1.10б (это рассмотрено в разд.
2.3).
2.1. Доказательство пространственно-подобности четырехимпульсов виртуальных
частиц для рассматриваемых диаграмм типа “гребенки”
Как отмечается в [28] для большинства соотношений масс частиц в начальном и
конечном состоянии четырехимпульсы виртуальных частиц на диаграмме (рис. 1.10б)
являются пространственно-подобными, т.е. обладают отрицательными скалярными
квадратами в пространстве Минковского. Для выбранной конфигурации масс
отрицательность скалярных квадратов виртуальных четырехимпульсов легко
доказать.
Для этого найдем четырехимпульсы виртуальных частиц из законов сохранения
энергии-импульса в каждой вершине диаграммы. Результат представлен на рис.
2.1.
Доказательство проведем способом “от противного”. Предположим, что какой –
либо из четырехимпульсов виртуальных частиц, например, является
времени-подобным. Заметим, что в силу закона сохранения энергии-импульса этот
же четырехимпульс должен быть равен .
Учтем, что временная компонента времени – подобного четырехимпульса (энергия)
ни в какой инерциальной системе отсчета не может обращаться в нуль. Это значит,
что знак временной компоненты такого четырехвектора является Лоренц –
инвариантной величиной, т.е. не может изменяться при переходе от одной
инерциальной системы отсчета к другой.
Если мы предположим, что знак временной компоненты четырехвектора или, что то
же самое, четырехвектора положительный, то во всех инерциальных системах
отсчета должны одновременно соблюдаться неравенства:
(2.1)
Учитывая, что в оба неравенства входят энергетические компоненты
четырехвекторов энергии-импульса реальных частиц, удовлетворяющие условиям
массовой поверхности, эти неравенства можно переписать в виде:
(2.2)
Заметим, что первое из этих неравенств точно не может иметь место в системе
покоя частицы , поскольку
(2.3)
Если же мы предположим, что временная компонента рассматриваемого
четырехвектора имеет отрицательный знак, то получим, что во всех инерциальных
системах отсчета должны одновременно соблюдаться неравенства:
(2.4)
Однако второе из этих неравенств не может иметь место в системе покоя частицы .
Таким образом, удовлетворить закону сохранения энергии-импульса во всех
системах отсчета можно только в том случае, если временная компонента
рассматриваемого четырехвектора будет менять знак при переходе от одной системы
отсчета к другой. Но тогда это означает, что этот четырехвектор не может быть
времени-подобным.
Поскольку квадраты четырехимпульсов виртуальных частиц , ,…, являются
отрицательными при физических значениях четырехимульсов частиц в конечном
состоянии, то знаменатели в выражении (1.35) в физической области нигде не
обращаются в нуль. Тогда величины можно устремить к нулю сразу, а не после
проведения всех расчетов, т.к. эти добавки вводятся для “правильного” обхода
полюсов [9], которых в рассматриваемом случае амплитуда рассеяния не имеет.
После этого величина становится действительной и положительной
(2.5)
что приводит к тому, что ее условный максимум полностью определяет максимум
квадрата модуля амплитуды рассеяния.
2.2. Учет закона сохранения энергии-импульса и условий массовой поверхности.
Поскольку сечение рассеяния и амплитуда рассеяния по определению являются
лоренц-инвариантными величинами [6
- Київ+380960830922