РОЗДІЛ 2
РОЗВИТОК МОДЕЛЕЙ представлення
МАКСИМАЛЬНИХ значень випадкових навантажень
Проблема отримання вичерпної інформації про максимуми навантажень напряму
пов’язана із сучасним станом знань теорії екстремальних значень і на
сьогоднішній день може бути вирішена у строгій математичній постановці тільки
для навантажень, представлених технікою випадкових величин. Що стосується
навантажень, імовірнісні характеристики яких змінюються у часі, то тут майже у
всіх практично важливих випадках не існує однозначного та точного рішення і
більшість пропозицій базуються на певних передумовах та ідеалізованих моделях
реальних навантажень, для яких існують відомі рішення із теорії випадкових
функцій. Прикладом цього може служити доволі поширена схематизація різних
природних впливів нормальним розподілом імовірностей, якому в теорії надійності
будівель і споруд належить провідна роль на шляху подолання математичних
труднощів. З іншого боку, точна оцінка імовірнісних параметрів максимумів
навантажень не повинна супроводжуватись громіздкою і занадто „математичною”
процедурою, а повинна дотримуватись ідеї раціонального компромісу між точністю
та простотою.
З огляду на сказане, в даному розділі безвідносно до характеристик
навантажень, представлених технікою випадкових процесів, і на основі теорії
викидів випадкових функцій викладені прості аналітичні методики оцінки
статистичних та частотно-часових характеристик абсолютних максимумів
навантажень для випадку їх окремої та сумісної дії на будівельні конструкції.
Конкретизація загальних положень розроблених методик виконується для
атмосферних навантажень та навантажень від мостових кранів.
Загальні положення екстремальних моделей навантажень
В загальному випадку, безвідносно до характеристик навантаження, вважатимемо,
що для середньої кількості додатних перетинів ВП навантаження будь-якого
детермінованого нормованого рівня за час можна записати
, (2.1)
де – функція показника експоненти, вигляд якої залежить від конкретного виду
навантаження;
– рівень, для якого кількість додатних перетинів дорівнює одиниці, тобто ;
– деякі параметри форми та положення щільності розподілу відповідного ВП
навантаження (для компактності далі вони опущені).
У більшості випадків являється нелінійною функцією своїх аргументів, з чим і
пов’язані значні труднощі (особливо це стосується нестаціонарних та
квазістаціонарних процесів навантаження). Припустимо далі, що практично важливі
значення нормованої випадкової величини належать інтервалу , де – нормований
рівень, імовірність перевищення якого ВП навантаження можна вважати практично
нездійсненою подією, наприклад 0.001 або 0.0001. Очевидно, що для кожного виду
навантаження і специфіки конкретної задачі величина буде різною. Розглянемо
функцію на ділянці та замінимо її дотичною, що проведена у точці з абсцисою .
Рівняння дотичної матиме вигляд:
. (2.2)
Інтервал вважатимемо достатньо вузьким, щоб у межах цього інтервалу не
спостерігались значні відхилення між функціями і . Враховуючи те, що при
кількість додатних перетинів , а функція при даному значенні аргументу
перетворюється на нуль, отримаємо:
. (2.3)
З урахуванням цього, вираз (2.1) перепишеться наступним чином
. (2.4)
Формула (2.4) є наближеною, оскільки наближеною є і сама заміна нелінійної
функції прямою пропорційністю, але, як буде показано нижче на конкретних
навантаженнях, означена заміна цілком виправдовує себе.
При достатньо високому перетин рівня являється рідкою подією. В теорії
ймовірностей доказується, що кількість появи рідких випадкових подій за заданий
проміжок часу підкоряється розподілу Пуассона [26, 112, 211]. З урахуванням
цього, імовірність того, що відбудеться додатних перетинів рівня, для
стаціонарного ВП складатиме
(2.5)
Шукана функція розподілу найбільших значень навантаження дорівнює ймовірності
того, що екстремальне значення за інтервал часу менше ніж , тобто що величини
та дорівнюють нулю:
. (2.6)
Якщо праву частину формули (2.6) розкласти в степеневий ряд і залишити перші
два члени розкладання, отримаємо формулу, що має асоціативний характер з
приблизною оцінкою В.В. Болотіна (1.2):
. (2.7)
Цікаво відмітити, що вираз (2.6) асоціюється з інтегральною функцією подвійного
експоненціального розподілу (розподілу Гумбеля І типу), в якому роль
характеристичного екстремуму відіграє величина , а роль екстремальної
інтенсивності ? величина , яку назвемо „характеристичною інтенсивністю”.
Формула (2.7) асоціюється із експоненціальним розподілом з параметром ,
початком у точці та областю визначення . Геометрична інтерпретація
характеристичної інтенсивності легко встановлюється за моделлю абсолютних
максимумів: початкова максимальна ордината щільності експоненціального
розподілу дорівнюю , тому параметр експоненти у (2.7) це ніщо інше як значення
диференціальної функції розподілу абсолютних максимумів у точці
характеристичного максимуму .
Формули (2.6) та (2.7) виражають ідею запропонованого підходу, суть якого
полягає у тому, щоб незалежно від характеристик випадкового процесу
навантаження описувати його максимуми або експоненціальним розподілом (2.7),
або подвійним експоненціальним Гумбеля (2.6). Основною задачею при цьому
являється оцінка параметрів розподілів (2.6) і (2.7) за відомими
характеристиками випадкового процесу (щільністю розподілу, кореляційною
функцією, ефективною частотою і т.п.). Новизна підходу полягає у тому, що
величини та не оцінюються експериментально чи отримуються на підставі
екстраполяці
- Київ+380960830922