раздел 2
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВИБРАЦИОННОГО МЕТОДА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СПОСОБА ВаРИАЦИИ
МАСС
2.1 Динамическая модель стержневого элемента в составе ферменной конструкции
при использовании вибрационного метода
В соответствии с современными инженерными представлениями любой физический
процесс или явление может быть представлен в виде некоторой упрощенной модели
(схемы), принципы действия которой достаточно близко отражают характеристики
реального процесса или явления. Так, при моделировании процесса колебания
упругих систем, как правило, используются модели, содержащие конечное или
бесконечное количество степеней свободы.
Будем рассматривать некоторую стержневую конструкцию ферменного типа, в
стержнях которой преимущественно действуют продольные усилия (рис. 2.1.а). В
качестве динамической нагрузки рассмотрим ударный импульс в плоскости фермы,
приложенный к одному из элементов схемы. При этом будем полагать, что одна из
главных центральных осей элемента, нагруженного импульсом, расположена в
плоскости фермы и является осью симметрии сечения. В этом случае задачу считаем
плоской и формы колебаний также плоскими. Рассмотрим процесс свободных
колебаний системы по окончании действия ударного импульса. Стержень,
повергшийся поперечному удару (далее нагруженный стержень) и обладающий
некоторой распределенной массой m, будет совершать поперечные колебания.
Смещение в процессе колебаний узлов примыкания стержня в общей системе приведет
к колебаниям всей конструкции (рис. 2.1.б).
Рис. 2.1. Модель колебаний конструкции ферменного типа:
а) исходная стержневая система, нагруженная ударным импульсом; б) схема
колебаний системы; в) динамическая модель.
В силу специфики работы конструкций ферменного типа, узловая нагрузка,
вызванная смещением узлов нагруженного элемента, приведет к появлению в
стержнях конструкции осевых усилий, и положение всех элементов системы, за
исключением нагруженного, будет определяться смещением узлов фермы в данный
момент времени. Иными словами, всю стержневую систему, за исключением
нагруженного элемента, можно представить как систему с некоторым n-ым числом
динамических степеней свободы. Нагруженный стержневой элемент, совершающий
поперечные колебания, может быть представлен в виде элемента с распределенной
по длине массой и бесконечным количеством степеней свободы (рис. 2.1.в).
Известно [107, 157], что к системе, как с конечным, так и бесконечным
количеством динамических степеней свободы, может быть применен метод разложения
колебаний по формам. При этом каждая форма характеризуется своим собственным
значением частоты щi и фазы иi собственных колебаний, коэффициентом формы мi –
выражающим отношение амплитуды колебаний i-того порядка к амплитуде колебаний
1-го порядка. Порядковые номера форм колебаний выстраиваются по принципу
увеличения частоты собственных колебаний.
Представим динамическую модель на рис. 2.2.а в виде двух моделей: первая –
динамическая модель, представленная набором сосредоточенных масс в узлах фермы,
соединенных между собой упругими стержнями (рис 2.2.б); вторая - динамическая
модель стержня с распределенной по длине массой на упругих опорах (рис 2.2.в).
Суммирование уравнений колебаний каждой из полученных моделей приведет к общему
уравнению для исходной модели.
Рис. 2.2. Представление динамической модели колебаний стержневой системы в виде
составляющих:
а) исходная динамическая модель стержневой системы;
б) динамическая модель стержневой системы с конечным количеством степеней
свободы; в) динамическая модель нагруженного элемента с распределенной массой.
Полученная динамическая модель на рис. 2.2.б имеет конечное количество степеней
свободы и, как известно [64], описывается уравнением Лагранжа 2-го рода.
(2.1)
где T(q), U(q), Ф(q) - соответственно кинетическая, потенциальная энергии и
диссипативная функция Релея.
Подставив в уравнение Лагранжа (2.1) соответствующие частные производные
функций, получаем систему уравнений, которая в матричной форме имеет вид:
(2.2)
Решение данной системы известно и приведено в большинстве литературы по
динамике сооружений [64, 106, 145].
Вторая составляющая общей динамической модели (рис. 2.2.в), представляет собой
стержень с распределенной по длине массой m, совершающий поперечные колебания.
Опорные закрепления этого стержня смоделированы в виде упругих связей конечной
жесткости. Величина как линейной, так и угловой жесткости опорных связей должна
соответствовать принципу эквивалентности перемещений узла крепления стержня в
составе конструкции (рис. 2.2.б) и перемещений упругой связи для отдельно
взятого стержня (рис. 2.2.в). На основании принципа суперпозиции действия сил,
а, как следствие, и суперпозиции перемещений от различных нагрузок, при упругой
постановке задачи для определения величины жесткости опорных связей достаточно
вычислить перемещение узла исходной схемы под действием единичной обобщенной
силы, приложенной в узле, по направлению этой силы (обобщенное перемещение).
На основании принципа разделения колебаний по формам при частотном анализе
собственных поперечных колебаний стержневого элемента, подверженного
динамическому воздействию, составляющую общей динамической модели в виде фермы
с узловыми массами (рис. 2.2.б) можно не учитывать. При этом спектр частот
собственных поперечных колебаний нагруженного стержня может быть определен
путем рассмотрения динамической модели весомого стержня на упругих опорах
(рис. 2.2.в). Однако следует отметить, что общее уравнение движения должно быть
определено в виде суммы решений для этих двух моделей, а спектр частот
собственных колебаний нагруженного стержневого эл
- Київ+380960830922