РОЗДІЛ 2
БАГАТОВИМІРНІ ІНТЕГРАЛЬНІ НЕРІВНОСТІ
Актуальність розгляду багатовимірних інтегральних нерівностей, визначається
багатьма практичними задачами, які виникають у теорії рівнянь в частинних
похідних та рівнянь Вольтерра з багатьма змінними.
Серед багатьох робіт, в яких розглядалися лінійні та нелінійні інтегральні
нерівності для функцій двох та п-змінних, відзначимо праці: Цалюк З. Б. [57,
58], Bondge B. K., Apocopate B. G. [70, 71], Cordoning A. [73], Apocopate B. G.
[80, 81], Rasmussen D. L. [85], Snow D. R. [87], Lakshmikantham V., Leela S.
[79], R. P. Agarwal [64], Akinyele Olusola [65], V. B. Headley [76], S. G.
Hristova, D. D. Bainov [77, 78], P. S. Simeonov, D. D. Bainov [86], С. С. Yeh
[94, 95].
В другому розділі розглядається інтегральна нерівність типу Перова для функцій
двох та п-змінних, одновимірний аналог якої можна знайти в багатьох відомих
роботах [26, 27, 44, 79].
Отримані результати цікаві тим, що при різних значеннях параметра б та функцій,
які входять у нерівність Перова, вони узагальнюють досить широкі класи лінійних
та нелінійних інтегральних нерівностей.
Крім того, в другому розділі розглянута задача Гурса з даними на
характеристиках, яка зустрічається при вивченні багатьох фізичних процесів,
пов’язаних з газо - і гідродинамікою.
2.1. Лінійні та нелінійні інтегральні нерівності для неперервних функцій двох
змінних
Розглянемо евклідів простір . Надалі скрізь будемо вважати, що положення точок
простору упорядковано за допомогою по координатних нерівностей: (або ), якщо (
).
Позначимо область .
Знайдемо оцінку для функції, яка задовольняє інтегральній нерівності типу
Перова [44].
Теорема 2.1.1. Нехай в області виконуються наступні умови:
функції неперервні та невід’ємні;
функція додатна та монотонно неспадна;
функція в області D задовольняє нерівності
. (2.1)
Тоді в області D справджуються оцінки:
при
; (2.2)
при
; (2.3)
при оцінка (2.2) буде справедливою в області
Доведення. Доведення проведемо двома різними способами.
1–спосіб. Розглянемо нерівність (2.1). Враховуючи властивості функцій, які
входять у цю нерівність, можемо записати
Введемо функцію
, (2.4)
тоді отримаємо
. (2.5)
Позначимо праву частину нерівності (2.5)
. (2.6)
Тоді
(2.7)
Звідси
, (2.8)
; (2.9)
Функція по кожній зі своїх змінних є неспадною. Тому
(2.10)
Враховуючи співвідношення (2.8) – (2.10) дістанемо
. (2.11)
В залежності від значень величини розглянемо три випадки.
Нехай . Помножимо нерівність (2.11) на додатний множник
Отримаємо
, (2.12)
або
(2.13)
Після інтегрування виразу (2.13) по змінній y, у межах від y0 до y, враховуючи
те, що , матимемо
або
. (2.14)
Звідси, зважаючи на позначення (2.4) та нерівність (2.7), приходимо до оцінки
(2.2).
Нехай . Проробляючи все як і в попередньому випадку, прийдемо до нерівності
Врахувавши, що , після перетворень дістанемо знову нерівність
,
але при додатковій умові
. (2.15)
Умову (2.15) простіше перевіряти в еквівалентній, більш зручній формі
яка визначає область
.
Далі, звертаючись до позначення (2.4) та нерівності (2.7), знову приходимо до
оцінки
але вже в області Da.
При маємо вже відомий результат – теорему Вендрофа (теорема 3.13 [27]).
2–спосіб. Розглянемо нерівність (2.5). Як і в попередньому випадку, введемо
функцію :
, (2.16)
тоді отримаємо
, (2.17)
де функція визначається співвідношенням (2.4). Враховуючи властивості функцій,
які входять у вираз (2.16), можна записати
Тому по кожній зі своїх змінних функція є неспадною:
(2.18)
Враховуючи співвідношення (2.16) – (2.17) та (2.18) дістанемо
. (2.19)
Далі, із нерівності (2.19) за теоремою Перова [44], поклавши та вважаючи, що в
умові теореми Перова функції та мають такий вигляд
,
в залежності від значень величини , отримаємо наступні результати:
при
; (2.20)
при оцінка (2.20) буде справедливою в області
Звідси, зважаючи на нерівність (2.17) та позначення приходимо до оцінки (2.2).
При функція буде мати наступний вигляд
Тоді
, , .
Оскільки функція по кожному зі своїх аргументів зростає, то виконуються
нерівності (2.18). Скориставшись цим, можемо записати
Далі, за лемою Гронуолла–Беллмана [27], поклавши та вважаючи, що функція має
вигляд
,
дістанемо потрібний результат
Звідси, зважаючи на нерівність (2.17) та позначення (2.4) приходимо до оцінки
(2.3). Теорему доведено.
Наслідок 2.1.1. Нехай в області виконуються умови теореми 2.1.1 та , де
Тоді в усій області D справджуються оцінки:
при
; (2.21)
при
при оцінка (2.21) буде справедливою в області
Розглянемо тепер функцію
Встановимо допоміжні властивості функції , яки будуть використані при доведенні
теореми 3.3.3.
Функція має наступні властивості:
; (2.22)
(2.23)
Дійсно, якщо продиференціюємо функцію по змінній х, то отримаємо
Тоді, оскільки
Звідси .
Аналогічно можна показати справедливість властивості (2.23).
Узагальнимо результат теореми 2.1.1.
Теорема 2.1.2. Нехай в області виконуються
- Київ+380960830922