РОЗДІЛ 2
ТЕОРЕТИЧНЕ ОБГРУНТУВАННЯ НАПРУЖЕНОГО СТАНУ ҐРУНТУ
ПІД КОЛІСНИМ РУШІЄМ МАШИННО-ТРАКТОРНОГО АГРЕГАТУ
2.1. Аналітичні дослідження напруженого стану ґрунту під дією колісних рушіїв
Під дією колісних рушіїв мобільної сільськогосподарської техніки у ґрунті виникає об'ємний напружено-деформований стан, який залежить від величини і розподілення зовнішнього навантаження, викликано дією рушіїв, від їх конструкційно-експлуатаційних параметрів та фізико-механічних властивостей ґрунту. Напруження в ґрунті не залежить від вибору системи координат, які визначають положення векторів напружень у заданій точці. Деформація ґрунтового напівпростору призводить до його ущільнення і, як наслідок, до зниження родючості сільськогосподарських культур та уповільнення ґрунтотворних процесів [34, 50, 79]
Попередні дослідження [76, 77, 79, 113] процесів контактування рушіїв машинно-тракторних агрегатів з ґрунтом свідчать про те, що числовий розв'язок задачі можливий за умови застосування методу ітерацій. В першому наближенні ґрунт має розглядатись як пружний напівпростір обмежений горизонтальною поверхнею.
Середовище ґрунтового напівпростору розглядається як ізотропне. За таких умов може застосовуватись розв'язок задачі Буссінеска [41, 92]. За цим методом розподілення напружень в масиві симетричне відносно осі х (рис.2.1.). На верхній граничній площині напівпростору або на лінійній межі цієї напівплощини напруження мають дорівнювати нулю, за винятком точки О, в якій діє вертикальна сила Р.
Для розрахунку напружено-деформованого стану ґрунту і проведення оптимізації ширини рушія необхідно отримати розв'язок зворотної контактної задачі [45] за умови рівномірного розподілення контактних напружень в напівплощині під колісними рушіями, що дозволяє одержати найбільш оптимальне з точки зору агротехнологічних критеріїв розподілення полів напружень в пружно-пластичному середовищі.
Розглянемо розв'язок для полів напружень, за принципом суперпозиції двох зосереджених сил G/2, перпендикулярних до осі y (рис.2.1).
Рис. 2.1. Схема навантаження на ґрунт парою колісних рушіїв
При цьому, для визначення полів напружень і деформацій від однієї зосередженої сили G/2, перпендикулярної до границі x=0, можна користуватись розв'язком задачі Фламана [61] (рис.2.2).
Рис. 2.2. Схема визначення полів напружень для зосередженої сили.
?х, ?y - нормальні напруження, ?R - радіальне напруження, ?ух - дотичне напруження, R - відстань від точки прикладання зосередженої сили до досліджуваної елементарної площинки
Для цього необхідно перейти до нової системи відліку Axy, зміщеної відносно системи Oxy (рис.2.1) на величину а=ОА і розглядати задачу Фламана, як окремий випадок задачі Мітчела [45, 61] про визначення полів напружень і деформацій в клині з кутом 2?, до вершини якого прикладена сила G/2, що складає з віссю клина Ax' кут ?=0.
Умові рівноваги в цьому випадку будуть задовольняти такі диференціальні рівняння [45, 61]:
(2.1)
Розв'язок системи 2.1 виражений через функцію [21], матиме вигляд:
(2.2)
Або (рис 2.2):
(2.3)
Якщо рівності (2.2) виразити в полярних координатах, згідно з [21], отримуємо:
(2.4)
Врахувавши [21, 49, 50, 61], маємо:
(2.5)
де А і В - коефіцієнти, що можуть бути визначені з умови рівноваги частини клину (рис.2.3) [61, 143]:
Рис. 2.3. Умови рівноваги частини клину
(2.6)
Відповідно [21, 49, 50, 61], А та В можна подати у вигляді:
(2.7)
де a, b, c - складові відповідних матриць, і дорівнюють:
(2.8)
Тоді, для зосередженої сили перпендикулярної до осі х (рис.2.3) отримуємо [40, 41, 49, 76]:
(2.9)
Отже, а=0, b=c=?/2 і як наслідок:
.(2.10)
Або в декартових координатах:
(2.11)
Якщо врахувати, що на півплощину діє дві зосереджені сили G/2, перпендикулярних до осі у (рис.2.1), то для точки А: yA=y-a; а для точки B: yB=y+a. І, як наслідок, після відповідних перетворень рівності 2.11, згідно з [21, 50] набувають вигляду:
(2.12)
де - сила, що діє на вісь пари колісних рушіїв, Н;
а - відстань від осі х до прикладання зосередженої сили під колісним рушієм, м;
х, у - координати точки, в якій досліджуються напруження, м
Таким чином, вирази (2.12) є математичною моделлю плоского напруженого стану при навантаженні напівплощини двома зосередженими силами G/2, для якої напруження в масиві ґрунту лінійно залежать від прикладених сил. Якщо до поверхні масиву прикладені декілька зосереджених сил, то за принципом суперпозиції напруження в будь-якій точці будуть дорівнювати сумі напружень від кожної з цих сил окремо. Однак, рівняння (2.12) не достатньо вичерпно описує напружено-деформований стан під рушіями машинно-тракторного агрегату з огляду на те, тому що на ґрунтову напівплощину з боку колісних рушіїв діють не зосереджені сили, а блоки розподіленого навантаження (рис.2.4).
Загальновідомо що при розподіленому деяким чином за певною ділянкою тиску q навантаження можна замінити погонним навантаженням:
(2.13)де - ширина елементарної ділянки плями контакту з координатами х
та у, м;
- погонне навантаження на ділянці шириною ,
Тим самим за умови дії розподіленого навантаження розв'язок задачі зводиться до (2.12) за кожного окремого Рі.
Рис. 2.4. Схема визначення напружень в елементарній площинці напівплощини, що навантажена двома блоками розподіленого навантаження (парою колісних рушіїв)
Для побудови математичної моделі напруженого стану від декількох блоків розподіленого навантаження представимо це навантаження як суперпозицію n сил прикладених у відповідних точках, з координатами:
(2.14) Виходячи з (2.14) , згідно з [50, 132] отримуємо математичну модель напруженого стану від декількох блоків розподіленого навантаження
(рис. 2.4) у вигляді:
(2.15)
де п - кількість сил в блоці розподіленого навантаження:
(2.16) li -ш