РАЗДЕЛ 2
ИДЕНТИФИКАЦИЯ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ ПО ПЕРИОДУ ЗАНЯТОСТИ
2.1. Однолинейная СМО типа с "вытеснением" заявки, находящейся на обслуживании
Ниже под идентификацией систем массового обслуживания (СМО) понимается оценка интенсивности входящего потока заявок и оценка параметров обслуживающих устройств (приборов) по наблюдениям над функционированием системы массового обслуживания.
Если наблюдению доступен сам входящий поток заявок, оценка его интенсивности особых проблем не вызывает. Гораздо сложнее обстоит дело, когда входящий поток заявок наблюдению не доступен, и мы имеем возможность наблюдать только некоторые события, связанные с функционированием системы обслуживания. В данной главе рассматривается случай, когда наблюдению доступны моменты начала периода занятости СМО.
Пусть имеется однолинейная система массового обслуживания , на которую поступает пуассоновский поток заявок интенсивности . Обслуживание поступающих заявок будем считать рекуррентным и время обслуживания - случайной величиной с плотностью вероятностей
где - известная функция со свойствами
; ; .
В этом случае параметр имеет смысл средней длительности обслуживания заявки.
Будем считать, однако, что если во время обслуживания какой-то заявки в систему поступила другая заявка, то она "вытесняет" находящуюся на обслуживании заявку и сама занимает её место на обслуживающем устройстве. Вытесненная же заявка теряется и в дальнейшем в СМО не возвращается.
Рассмотрим структуру периода занятости такой системы. Пусть на обслуживающее устройство поступила заявка, которая должна обслуживаться время . Если в течение этого времени в систему поступит другая заявка, то она вытеснит имеющуюся заявку с обслуживающего устройства и сама начнет обслуживаться, требуя для своего обслуживания времени . Если в течение этого нового интервала обслуживания поступит новая заявка, то она также вытеснит эту вторую заявку и потребует для обслуживания времени и т.д. Период занятости закончится лишь тогда, когда в течение времени обслуживания какой-то заявки в систему не поступит ни одной заявки.
Эту схему создания периода занятости можно пояснить на рис. 2.1, где изображён механизм его формирования.
Задача выглядит следующим образом: по моментам начала периодов занятости, то есть по моментам включения обслуживающего прибора надо построить оценки интенсивности входящего потока событий и средней длительности обслуживания заявок на обслуживающем устройстве.
Обозначим (случайную) длительность периода занятости через . Пусть исходная поступившая заявка создала цикл обслуживания длительности . С вероятностью в течение этого цикла заявок в исходном потоке не появится, и тогда будет равно .
Однократное продление периода занятости возможно в том случае, если на некотором бесконечно малом интервале , , в исходном потоке поступит заявка, которая продлит период занятости на величину , а затем на интервале заявок больше не появится. Вероятность описанной выше ситуации равна и при этом .
Рис. 2.1. Схема формирования периода занятости
При двукратном продлении периода занятости должны поступить две заявки на бесконечно малых интервалах и таких, что , , а затем на интервале цикла обслуживания , созданного второй заявкой, больше заявок исходного потока не поступит. Вероятность этой ситуации равна . При этом .
Аналогично можно рассматривать трехкратное, четырехкратное и т.д. продление периода занятости. Отсюда при фиксированных условная плотность вероятностей величины равна
Переходя к преобразованию Лапласа функции , получим [7, 21]
Усредним это выражение по в предположении их независимости. Тогда
где - преобразование Лапласа от , .
Интегрируя последнее соотношение по частям, получаем
Поэтому преобразование Лапласа от безусловной плотности вероятностей равно
Интервал времени между регистрируемыми заявками складывается из результирующей длительности периода занятости и времени , прошедшего между его окончанием и моментом поступления новой заявки.
Так как последнее слагаемое, в силу свойств пуассоновского потока, имеет плотность вероятностей и преобразование Лапласа , то преобразование Лапласа от плотности вероятностей интервалов времени между регистрируемыми заявками есть [21, 45]
Отсюда, зная вид , можно найти и явный вид плотности вероятностей интервалов времени между регистрируемыми заявками. Заметим, что этот поток является рекуррентным, так как очевидно, что эти интервалы - независимые и одинаково распределенные случайные величины.
2.2. Построение и исследование оценок
Так как явный вид плотности вероятностей интервалов между регистрируемыми заявками удается найти далеко не всегда, то воспользуемся для построения оценок параметров и методом моментов.
Рассмотрим величины , которые в силу свойств преобразования Лапласа равны [59]. Вычисляя производные от , получаем
где .
Из этих уравнений можно выразить и производные через :
Пусть имеется выборка из значений величин . Тогда легко построить оценки величин , где
для которых очевидно, что .
Теперь можно построить оценки неизвестных параметров и .
Оценку параметра найдем из уравнения
. (2.1)
Укажем на некоторые особенности этого уравнения. Так как , то и, поэтому, . Далее, согласно свойствам преобразования Лапласа [21], , иначе для не будет выполняться условие нормировки.
Очевидно, что . В силу непрерывности функции у нее существует некоторое максимальное значение . Поэтому уравнение имеет корни лишь в том случае, если , причем этих корней получается не менее двух (чаще всего именно два корня). Какой из этих корней соответствует