РОЗДІЛ III
ІНТЕГРАЛЬНІ РІВНЯННЯ З МАЙЖЕ РІЗНИЦЕВИМИ ЯДРАМИ
3.1. Позначення, означення й основні теореми
Означення 3.1.1. Будемо називати ядро інтегрального рівняння майже різницевим, якщо воно зображено у вигляді
. (3.1.1)
Означення 3.1.2. Якщо в рівності (3.1.1) то відповідне ядро будемо називати різницевим, як це прийнято в книзі [40].
З а у в а ж е н н я. Подалі ми будемо припускати, що різницеве ядро не є виродженим. Випадок, коли різницеве ядро є виродженим, тривіальний і тому ми його розглядати не будемо.
Загальний вид інтегрального рівняння з майже різницевими ядрами такий:
(3.1.2)
Для подальшого нам знадобляться деякі поняття, на підставі яких доведемо основні теореми.
Введемо оператори. Нехай лінійні, обмежені й оборотні оператори; - простір локально інтегровних функцій, заданих на множині .
Уведемо оператор
. (3.1.3)
Тут оператори у просторі діють так: , де ? характеристична функція множини . Припустимо також, що множини вимірні за Лебегом , ,.
Очевидно, що лінійний і обмежений оператор, причому він діє із простору у простір .
Теорема 3.1.1 Якщо оператор оборотний в , то розв'язок операторного рівняння
(3.1.4)
можна одержати у просторі у такий спосіб:
, (3.1.5)
де функція будується за наступною рекурентною формулою
; . (3.1.6)
Д о в е д е н н я. Нехай розв'язок операторного рівняння (3.1.4). При цьому припущенні розглянемо ланцюжок операторних рівнянь
. (3.1.7)
Оскільки оператори припускаються оберненими в , то будуть справедливі рівності (3.1.6). З цих рівностей випливає, що
. (3.1.8)
Тепер покажемо, що при . Доведемо це твердження методом математичної індукції. При це твердження вірне. Припустимо, що воно вірне при :
при . (3.1.9)
Доведемо, що твердження (3.1.8) буде вірним при . Дійсно, якщо , то згідно з (3.1.7) і припущенню (3.1.9) . Якщо ж , то з (3.1.7) випливає, що , а це означає, що .
Теорему доведено.
З а у в а ж е н н я. Із властивостей операторів , взагалі кажучи, не випливає, що оператор , побудований за формулою (3.1.3), є оборотним.
Теорема 3.1.2. Нехай лінійний оборотний оператор, де , лінійний оборотний оператор; лінійний оборотний оператор, причому має наступну властивість: якщо , то . Тоді, якщо є розв'язок операторного рівняння
, (3.1.10)
то він має таку властивість:
, де будується за наступною рекурентною формулою
. (3.1.11)
Д о в е д е н н я. Нехай розв'язок операторного рівняння (3.1.10). Покажемо, що розв'язок має структуру (3.1.11). Виявимо цей факт за допомогою математичної індукції. Безпосередньо можна показати, що при це твердження вірне. Припустимо, що воно вірне при . Покажемо тепер, що твердження (3.1.11) вірне й при . Дійсно, застосовуючи припущення індукції, а також умови теореми, при одержимо
. (3.1.12)
Нарешті, з (3.1.11), (3.1.12) випливає, що твердження (3.1.11) вірне. Доказ завершений.
3.2. Загальні властивості інтегральних рівнянь з майже різницевими ядрами за умови, що
Розглянемо інтегральні рівняння з майже різницевими ядрами вигляду:
(3.2.1)
у яких обмежені вимірні функції, які прямують до скінченних границь при , .
Загальні властивості розв'язків рівняння (3.2.1) визначаються поводженням його символу
, (3.2.2)
де
Справедлива
Теорема 3.2.1 [29]. Якщо функції у рівнянні (3.1.1) сумовні на всій дійсній вісі, то:
a) для того щоб рівняння (3.2.1) було нормально розв'язним у просторі , і мало скінченний індекс, необхідно й досить, щоб граничні значення символу при ніде не перетворювалися в нуль:
; (3.2.3)
b) при виконанні зазначеної умови індекс рівняння (3.2.1) у кожному з розглянутих просторів визначається за формулою:
(3.2.4)
З а у в а ж е н н я. У різницевих рівнянь вольтеррівського типу ядра можуть належати більш широкому простору, чим при вивченні рівняння вигляду (3.2.1). Розглянемо тепер рівняння
, (3.2.5)
у якого - обмежені вимірні функції, що прямують до скінченних границь при , ; відомі функції, що належать простору
; відома функція, що належить простору .
Невідома функція шукається у просторі .
Введемо й зробимо заміну . Тоді інтегральне рівняння (3.2.5) буде мати такий вигляд
, (3.2.6)
де
.
Очевидно, що .
Введемо тепер таку константу , що:
при , . (3.2.7)
Це завжди можна здійснити на підставі властивостей функцій . Далі знову зробимо заміну : . Тоді інтегральне рівняння набуде вигляду
, (3.2.8)
де
.
Відзначимо, що . При цьому індекс рівняння (3.2.8), завдяки умові (3.2.7), дорівнює нулю, а це рівносильне тому, що рівняння (3.2.8) має єдиний розв'язок у просторі [29]. Очевидно, що рівняння (3.2.5) має теж єдиний розв'язок, який