РОЗДІЛ 2
ОБҐРУНТУВАННЯ МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ ГАЗОСПОЖИВАННЯ З УРАХУВАННЯМ ЦИКЛІЧНОСТІ ТА ВИПАДКОВОСТІ ПОВЕДІНКИ СПОЖИВАЧІВ В СИСТЕМІ
У даному розділі проаналізовано механізм формування газонавантажень, обґрунтовано вибір лінійного періодичного випадкового процесу як стохастичної конструктивної моделі газоспоживання з урахуванням його циклічності, описані основні характеристики ЛВП. З метою підвищення точності і достовірності аналізу споживання газу запропоновано враховувати випадковість тривалостей перебування споживачів в газовій системі в новій удосконаленій математичній моделі газоспоживання у вигляді умовного лінійного періодичного випадкового процесу. У розділі досліджено основні ймовірнісні характеристики стаціонарного умовного лінійного процесу на прикладі побудованої моделі газоспоживання.
Основні результати другого розділу опубліковані в [62, 63, 65, 66, 81].
2.1. Обґрунтування вибору лінійного випадкового процесу як математичної моделі газонавантажень
Проаналізуємо механізм формування газоспоживання.
Нехай у момент часу кожен k-ий споживач починає вмикати газ (рис. 2.1). Очевидно, що споживач повинен встановити певний рівень витрат газу у відповідності до своїх потреб. Зрозуміло, що цю дію він виконує на певному скінченному інтервалі часу. Нехай у момент часу споживач встановив достатній для нього рівень газу. На інтервалі часу споживач не змінює рівень витрат газу, тобто використовує газ з певною сталою інтенсивністю. В момент часу приймає рішення вимкнути газ, на що так само затрачає певний час. Для спрощення моделі будемо вважати, що для ввімкнення і вимкнення газу споживач затрачає однаковий час. Введемо наступні позначення: - загальна тривалість перебування споживача в системі, - тривалість інтервалу часу, на якому споживач користується газом, - час, необхідний користувачеві для вмикання чи вимикання газу. Зрозуміло, що . Враховуючи введені позначення, охарактеризуємо кожен інтервал часу. Отже, k-ий споживач на інтервалі часу - вмикає газ, на інтервалі тривалістю - використовує газ, а на проміжку часу - вимикає газ. Тут , - випадкові величини, які не залежать від , оскільки кожен споживач газу самостійно вирішує, коли і скільки часу користуватись газом. Вважаємо, що - послідовності незалежних одинаково розподілених випадкових величин. - послідовність одинаково розподілених незалежних випадкових величин, що описує рівень інтенсивності споживання газу k-го споживача. Функцію, що характеризує зміну газоспоживання, позначимо , де - момент ввімкнення k-го споживача, t - момент спостереження. Моменти часу є випадковими.
Рис. 2.1. Графічне зображення реалізацій:
1 - інтенсивності газоспоживання одним споживачем та
2 - моделі споживання газу одним споживачем
Для спрощення побудови моделі замість випадкових величин та вводимо їх математичні сподівання та .
З метою спрощення моделі замість загальної функції вводимо функцію, графік якої наведено на рис 2.1:
(2.1)
де
,(2.2)
що видно із рисунка 2.2
Рис.2.2. Графічне зображення функції
Cередовище, де функціонують споживачі, має лінійні властивості, тому сумарне газоспоживання дорівнює сумі інтенсивностей витрат газу кожним споживачем зокрема. Отже, загальне газоспоживання можна розглядати як випадковий процес :
.(2.3)
Розглянемо процес ввімкнення споживачів в систему газоспоживання:
1. Споживачі входять у систему у послідовні випадкові моменти часу незалежно один від одного.
2. Величини інтервалів часу між включеннями споживачів є незалежними випадковими величинами. Тобто ймовірність того, скільки споживачів підключиться на даному інтервалі часу не залежить від того, скільки споживачів підключилося за межами цього інтервалу (умова відсутності післядії).
3. Вважаємо, що в один момент часу ввімкнути газ може лише один споживач (умова ординарності), тобто ймовірність появи двох і більше споживачів за малий проміжок часу дорівнює . За достатньо малий проміжок часу ймовірність появи одного споживача в системі - , де - детермінована функція, що характеризує інтенсивність включення споживачів і залежить від часу доби.
4. Послідовність випадкових величин також є послідовністю незалежних від однаково розподілених випадкових величин.
На основі пунктів 1-3 робимо висновок, що процес ввімкнення споживачів в систему є нестаціонарним пуассонівським потоком з параметром [2]. Введемо неоднорідний узагальнений пуассонівський процес , що відповідає нестаціонарному пуассонівському потокові з параметром таким чином, щоб його стрибки відбувались у моменти часу ввімкнення споживача в систему і дорівнювали .
Тоді процес -загальне газоспоживання можна записати у вигляді стохастичного інтегралу:
.(2.4)
Нагадаємо, що випадковий процес, який можна записати у вигляді згортки (2.4), називають лінійним випадковим процесом. Більш детально питання переходу від процесу (2.3) до процесу (2.4) висвітлені в [59].
Зважаючи на те, що газоспоживання формується реальною фізичною системою процес повинен мати скінченні енергетичні характеристики. В даному випадку будемо вимагати, щоб процес (2.4) був гільбертовим, тобто, щоб виконувалась умова . Для цього необхідно, щоб дисперсія приростів породжуючого процесу була скінченною , а для ядра лінійного випадкового процесу при кожному фіксованому справджувалась умова: .
2.2. Властивості лінійних випадкових процесів
2.2.1. Лінійні випадкові процеси неперервного аргументу. Згідно з [69] лінійним випадковим процесом у вузькому розумінні називається випадковий процес , виду:
, ,(2.5)
де - невипадкова функція, яку називають ядром інтегрального зоб-раження (2.5); - дійсний стохастично неперервний випадковий процес з незалежними приростами (породжуючий процес). Якщо ядро інтерпретувати як імпульсну перехідну функцію деякої лінійної системи, то ЛВП (2.5) представляє собою відгук системи на дію