Раздел 2
ФОРМАЛЬНОЕ ОПИСАНИЕ И МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КАЧЕСТВЕННЫХ СИТУАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ СЕТЕВЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Математика дала аппарат для отображения закономерностей как количественного (непрерывного) так и качественного (дискретного) характера.
Количественное описание динамических характеристик состоит из дифференциальных и алгебраических уравнений, включая аналитические и численные методы их решения для представления изменений параметров во времени. Для сложных СДС матричные уравнения позволяют единообразно описывать системы любых размеров и топологий [123].
Качественные, дискретные описания динамических систем представлены графами, сетями, правилами, автоматами [45, 75, 83, 123]. В данной главе ставится цель получить обобщенное описание качественных моделей для сложных объектов на основе интервальных ситуационных моделей метода SQMA. Математически сжатое, лингвистически независимое представление КМ требуется для строгого, алгоритмически выдержанного построения моделей. Матричные записи необходимы для компактного описания систем, состоящих из большого числа составляющих. Объединенные системы математических выражений позволяют концентрированно представлять характеристики сложных объектов.
2.1 Интервальное представление качественных характеристик
Качественные переменные и их значения
Интервальные ситуационные модели (ИСМ), предложенные в работах [45,75], ставят в соответствие качественной лингвистической характеристике определенный непрерывный интервал численных значений. Особо отмечаются критичные по безопасности промежутки значений. Вводятся качественные интервальные переменные, которые принимают значения одного из возможных численных интервалов. Качественные переменные могут иметь соответствующие атрибуты - лингвистические переменные - вербальные описания.
На Рис. 2.1 приведен пример качественного описания концентрации метана в атмосфере выработки угольной шахты. Область допустимых значений (ОДЗ) разбита на три интервала с четкими границами. Каждый качественный интервал для концентрации имеет собственную вербальную характеристику: "Низкая", "Средняя", "Опасная".
Рис. 2.1. Качественное интервальное представление характеристик
Для полного покрытия ОДЗ предлагается использовать регулярную структуру интервалов с закрытой левой и открытой правой границей. Если упорядочить по значениям интервалы I и границы х и проиндексировать их, то индекс интервала совпадет с индексом его левой границы.
Определим качественную интервальную переменную для концентрации метана СI как логический терм:
(2.1)
Качественная интервальная переменная для концентрации метана (подчеркивание - признак качественной переменной) может принимать одно из предопределенных значений - интервалов (подчеркиваются двунаправленной стрелкой). То же самое опишем для произвольного числа интервалов N, используя индексирование и введя групповой символ ? - "любой из", "один из":
. (2.2)
Аналогично определяем вербальную, лингвистическую переменную для концентрации метана как с помощью логического терма, так и через групповой символ ? и индексирование:
= "Низкая" OR "Средняя" OR "Опасная" =
= V1 OR V2 OR V3 =. (2.3)
Интервальная и вербальная переменные имеют однозначную взаимосвязь. Для явного математического преобразования интервальных переменных в лингвистические и наоборот введем функцию #:
, (2.4)
. (2.5)
Преобразование количественных значений С в качественные интервальные также требует введения особой функции @ - качественной функции.
Качественная функция использует описание качественной интервальной переменной (2.2) и в общем случае может быть представлена следующим образом:
, (2.6)
С помощью качественной функции возможно присвоение качественной интервальной переменной константного значения, для чего необходимо формализовать интервальные константы. Интервал в общем виде будем представлять как два значения - границы интервала, заключенные в угловые скобки; при этом мы абстрагируемся от типа границ . Так определяется интервал, тип границ которого неизвестен. Если же тип границы известен, то он может быть определен явно, круглой скобкой для открытой границы, и квадратной для закрытой. Интервальные константы при присвоении качественной переменной должны соответствовать ее предопределенному описанию (2.2). Закрытая граница интервала может служить его идентификатором, а также использоваться в качестве аргумента качественной функции. При этом проверяется корректность задания константы интервального значения для данной качественной интервальной переменной:
, (2.7)
, (2.8)
, (2.9)
Если обе границы интервала открыты, то есть не принадлежат его области значений, то для поиска интервала в описании переменной с помощью качественной функции необходимо задавать в качестве аргумента любое промежуточное значение между границами:
. (2.10)
Математические операции для работы с границами интервалов
Для интервалов и его границ определим несколько формальных математических операций. Так для интервала или же мгновенного значения качественной интервальной переменной обозначим операции нахождения численного значения границ через специальные символы:
, (2.11)
. (2.12)
Эта информация извлекается из предварительного описания качественной переменной вида (2.1) или (2.2). Кроме численного значения границ, необходимо определять для интервалов и их тип (закрытый или открытый), то есть принадлежность самих границ интервалу. Для этого определим следующие математические операции:
, (2.13)
. (2.14)
Кроме границ существенной характеристикой интервала является его
размер - протяженность. Определим формально оператор - диаметр - для оп