РАЗДЕЛ 2
ТЕОРЕТИКО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ МОДЕЛЕЙ МНОГОФАКТОРНОГО ОЦЕНИВАНИЯ
Сложность проблемы предполагает ее декомпозицию на задачи структурной (выбора вида функций полезности частных критериев и функций общей полезности) и параметрической (выбор параметров функций полезности частных критериев и функций обобщенной полезности) идентификации. Особенности используемых методологий принятия решений и параметрической идентификации требуют предварительного выделения подмножеств недоминируемых альтернатив.
Предлагаемый подход к решению задач идентификации многофакторных моделей оценивания и выбора решений базируется на теории полезности, теории и методах принятия решений, методологии компараторной идентификации, методах выделения Парето-оптимальных решений [15, 17 - 18, 48, 115].
2.1. Математические модели многофакторного оценивания на основе теории полезности
Современная теория принятия многофакторных решений базируется на теории полезности, в соответствии с которой ЛПР приписывает альтернативам некоторую полезность и осуществляет выбор лучшей из них по значению полезности P(x). В условиях отсутствия компьютеризированных СППР ЛПР на основе оценок по множеству частных критериев устанавливает порядковую (качественную) полезность на множестве альтернатив . В настоящее время для выражения качественных (сравнительных) характеристик альтернатив используется понятие "предпочтение", а термин "полезность" используют для количественного выражения предпочтений [25].
Для формализации процедуры выбора эффективных решений ЛПР используется аппарат бинарных отношений [16, 25]. Бинарным отношением на непустом множестве альтернатив называют подмножество множества всех упорядоченных пар из . При этом множество всех упорядоченных пар задается прямым произведением . Запись ( находится в отношении к ) означает, что (x, y) принадлежит R; аналогично не () означат, что (x, y) не принадлежит R, или что не находится в отношении к .
В теории принятия решений используют три вида бинарных отношений:
- эквивалентности (безразличия) ;
- нестрогого предпочтения ;
- строгого предпочтения .
Бинарные отношения могут быть заданы путем перечисления , путем задания общего свойства или с помощью матрицы (графа) A(R), элементы которой определяются условием:
(2.1)
Бинарное отношение R на множестве X является:
- рефлексивным, если x R x для каждого ; нерефлексивным, если для каждого ;
- симметричным, если из x R y следует y R x; асимметричным, если из x R y следует ;
- транзитивным, если из x R y и y R z следует x R z; отрицательно транзитивным, если из и следует ;
- связным, если x R y или y R x; слабосвязным, если из x ? y следует x R y или y R x.
Транзитивное бинарное отношение называется упорядочением или отношением порядка. В случае, когда предпочтения не образуют циклов, а безразличия не предполагаются транзитивными, каждое непустое конечное подмножество X={x} содержит максимально предпочтительную альтернативу [25]:
, (2.2)
где .
При создании компьютеризированных СППР требуется количественная оценка предпочтений альтернатив (2.2) (формализация понятия полезности Р(х), ). С этой целью на основе ФПЧК , (где m - количество частных критериев) формируется обобщенная оценка полезности для каждого из допустимых решений [18]. Желательным является, чтобы ФП всех частных критериев имели бы один и тот же вид и различались только значениями параметров.
Универсальной ФПЧК, позволяющей реализовать как линейные, так и нелинейные (включая выпукло-вогнутые и вогнуто-выпуклые) зависимости от значений частных критериев, является функция [61, 114]. Она представляет собой склейку (в точке перегиба ) двух функций (1.9). Для нормированных значений частных критериев , универсальная ФПЧК имеет вид (рис.2.1):
(2.3)
где - нормированное значение i-го частного критерия;
- значение i-го частного критерия для варианта х;
, - наилучшее и наихудшее значения -го критерия;
- нормированное значение координаты точки перегиба функции;
, ai - значения координат точки перегиба функции, ;
- параметры, определяющие вид зависимости (линейная, выпуклая, вогнутая) соответственно на начальном и конечном отрезках.
Рис. 2.1. Вид функции полезности частных критериев (2.3)
Для обеспечения дифференцируемости функции (2.3) в каждой точке интервала определения выполняется ее склейка с помощью кубического сплайна [61]. При отсутствии информации для идентификации ФПЧК (2.3) в моделях многофакторного оценивания используются нормированные значения частного критериев , .
При независимости полезностей по каждому из частных критериев они объединяются в ФОП на основе аддитивной схемы:
, (2.4)
где Р(х) - значение ФОП для решения х;
= - значение функции полезности і-го частного критерия;
- весовой коэффициент і-го частного критерия, ; .
Главным недостатком моделей вида (2.4) считается то, что они не отражают объективно роль частных критериев и допускают практически неограниченную компенсацию полезности одних свойств другими [18, 19, 115].
Этот недостаток не свойственен мультипликативной ФОП [115], которая в принятых выше обозначениях будет иметь вид:
. (2.5)
Недостатками мультипликативных схем вида (2.5) считается то, что они компенсируют недостаточную величину одного критерия избыточной величиной другого [19, 115].
Наиболее универсальными среди моделей многофакторного оценивания считаются модели, построенные на основе смешанных (аддитивно-мультипликативных) ФОП. Примером может служить модель на основе полинома Колмогорова-Габора, которая в принятых выше обозначениях будет иметь в