РАЗДЕЛ 2
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ С НЕЯВНЫМИ И ВЫРОЖДЕННЫМИ УРАВНЕНИЯМИ
2.1. Разработка моделей импедансной и адмиттансной нелинейных инженерных сетей
В подразделе 1.3 дан обзор задач моделирования, анализа и оптимизации нелинейных инженерных сетей с активными элементами. В подразделе 1.1 описаны импедансная и адмиттансная задачи для линейных электрических цепей. В данном подразделе будет показано, что задача анализа для пассивно-активной сети с источниками расхода сводится к импедансной задачи расчета давления в пассивной сети, а для пассивно-активной сети с источниками давления сводится к адмиттансной задачи расчета расходов пассивной сети. Решение импедансной и адмиттансной задач фактически заключается в решении систем нелинейных уравнений вида
. (2.1)
Рассмотрим математическую модель пассивной инженерной сети рис. 2.1, которая имеет мест подключения 2 внешних параметров и промежуточных (внутренних) ветвей.
Узлам подключения соответствуют внешние параметры - разность давлений и расход . Внутренними элементами пассивной сети являются участков трубопроводов или вентиляционных каналов. Каждому из этих внутренних участков соответствуют две неизвестные величины: - разность давлений на этом участке и - величина потока на этом участке [32]. Заметим, что в этом случае можно логически заменить внешние участки сети "идеальными" активными элементами, в которых нет потерь расхода или давления внутри источника.
Рис. 2.1. Пассивная инженерная сеть с мест подключения
2 внешних параметров
Введем векторы состояний: внешних давлений - , внешних потоков - , внутренних давлений - , внутренних потоков - .
Все давления и потоки связаны линейными законами сохранения. Давления и потоки на внутренних участках трубопровода связаны линейными или нелинейными зависимостями
, (2.2)
математическая форма и параметры которых уточняются ниже. Типичным примером нелинейной связи между давлением и потоком в газовом трубопроводе является квадратичная зависимость (1.12) [31], [68], хотя исследуются и другие зависимости. В векторном виде уравнения (2.2) имеют вид
. (2.3)
По аналогии с электрическими цепями ([23]) под импедансной задачей будем понимать задачу построения отображения . Импедансную задачу будем называть корректной, если любое значение потока позволяет однозначно найти создаваемую разность давлений и давления и потоки на внутренних участках - векторы и . Аналогично, под адмиттансной задачей будем понимать задачу построения отображения . Адмиттансную задачу будем называть корректной, если любое значение разности давлений позволяет однозначно найти создаваемый поток и давления и потоки на внутренних участках - векторы и .
В данном подразделе будут указаны топологические критерии корректности импедансной и адмиттансной задач и описана система уравнений, вообще говоря, нелинейных, которая определяет отображения и такие, что
, (2.4)
(2.5)
для импедансной задачи и
, (2.6)
(2.7)
для адмиттансной задачи. В частном случае линейных зависимостей (2.3) между параметрами внутренних участков сети будет указан явный вид импедансной матрицы (2.5), адмиттансной матрицы (2.7) и сформулированы необходимые и достаточные условия корректности линейных импедансной и адмиттансной задач. Достаточные условия корректности нелинейной импедансной задачи будут рассмотрены в третьем разделе.
Топологические критерии корректности импедансной и адмиттансной задач. Условия корректности импедансной и адмиттансной задач являются условиями как на параметры внутренних участков трубопровода, так и на геометрию сети. Здесь мы укажем необходимые условия на геометрию сети.
Интерпретируем сеть как ориентированный граф , содержащий вершин и дуг. Обозначим через подмножества внешних и внутренних дуг, соответствующие внешним и внутренним участкам сети соответственно. Введем векторы разностей давлений и потоков всех ветвей
, .
Уравнения Кирхгофа в векторной форме можно записать как
, (2.8)
где - матрицы сечений и циклов графа .
В работе В.Л.Даллакяна [23] для импедансной линейной электрической цепи показано, что необходимым и достаточным для существования обратимой импедансной матрицы (2.5) является наличие каркаса, состоящего из внутренних дуг, а для адмиттансной линейной электрической цепи показано, что необходимым и достаточным для существования обратимой адмиттансной матрицы (2.7) является наличие каркаса, содержащего множество внешних дуг. Следующие утверждения показывают, что эти условия являются необходимыми и для нелинейной инженерной сети.
Утверждение 2.1 (топологическое необходимое условие корректности импедансной сети). Пусть импедансная задача корректна, тогда модельный граф обладает каркасом, состоящим из внутренних дуг.
Доказательство. Пусть импедансная задача корректна, то есть в сети существует однозначное отображение (2.5), определяющее вектор по произвольно заданному вектору потока . Проведем доказательство от противного. Предположим, что в сети не существует каркаса, состоящего из внутренних дуг . Следовательно, внешние дуги (все или часть) образуют некоторое сечение . Ему соответствует вектор-строка , в которой первые элементов равны нулю: . Из уравнений Кирхгофа (2.8), в частности, следует, что или
. (2.9)
Таким образом, мы получили, что значения компонент вектора потока не могут быть произвольными, а должны удовлетворять тождеству (2.9). Что противоречит корректности импедансной задачи. Утверждение доказано.
Следствие 2.1 (топологическое достаточное условие некорректности импедансной сети). Если внешние дуги (все или часть) образуют некоторое сечение , то импедансная задача некорректна.
Таким образом, если в сети не существует каркаса из внутренних дуг, то постановка импедансной задачи некорректна: заданный поток не может