РОЗДІЛ 2
ЕКВІГРАВІТУЮЧІ ФІГУРИ ЯК ЗАСОБИ ОПИСУ ЗОВНІШНІХ ГРАВІТАЦІЙНИХ ПОЛІВ НЕБЕСНИХ ТІЛ
2.1. Класичні методи опису зовнішнього гравітаційного потенціалу небесних тіл
2.1.1. Метод Лапласа-Лежандра. Необхідним апаратом теорії потенціалу та теорії фігур небесних тіл є теорія шарових та сферичних функцій, яка була створена і розроблена А. Лежандром, П. Лапласом і К. Гауссом. Тому найпоширенішою моделлю є опис зовнішнього гравітаційного потенціалу небесних тіл у вигляді нескінченного ряду за сферичними функціями.
Зовнішній об'ємний гравітаційний потенціал тіла масою М виражається ньютонівським інтегралом (1.3).
Відстань ? визначається згідно теореми косинусів (рис. 2.1)
,
де ? - кут між радіусами-векторами r і r1.
Розкладемо обернену відстань ?-1 у ряд Тейлора:
Цей ряд сходиться абсолютно і рівномірно по змінній всюди зовні поверхні тіла.
Використовуючи такий розклад, отримаємо:
, (2.1)
де - сферична гармоніка Лапласа степеня n, Zn(r,?,?) - зовнішня шарова функція.
Використавши співвідношення
,
з урахуванням теореми складання багаточленів Лежандра
функції Лапласа мають вигляд:
(2.2)
і залежать від форми і внутрішньої будови тіла:
, m ? 1;
; Sn0 = 0
Функції Лежандра Pnm(cos?) визначаються з лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку (t = cos?, z = Pnm(cos?)):
розв'язок якого має вигляд
.
Стоксові сталі нижчих порядків мають механічний зміст [110, 115]:
* стала нульового порядку виражає масу тіла,
* сталі першого порядку визначають положення центра мас (центра інерції) тіла відносно застосованої системи відліку,
* сталі другого порядку описують еліпсоїд інерції тіла (визначають комбінації моментів інерції тіла відносно осей інерції).
Будь-яку складову ряду (2.1), тобто
,
називають для тіла V його потенціалом n-го порядку. Кожен з таких потенціалів - це шарова функція відповідного порядку і гармонічна зовні поверхні тіла.
Потенціал нульового порядку
- потенціал матеріальної точки на початку координат з масою, рівною масі тіла.
Потенціал першого порядку
- це потенціал диполя, який знаходиться на початку координат,
(xC, yC, zC) - координати центра інерції тіла.
Потенціали більш високих порядків мають зміст потенціалів точкових об'єктів, але більш складної структури.
Потенціал другого порядку враховує параметри еліпсоїда інерції тіла
де сталі Стокса дорівнюють
, C21=E, , S21=D, ,
а A, B, C - головні, D, E, F - відцентрові моменти інерції:
.
Зовнішній гравітаційний потенціал тіла також можемо записати у вигляді:
, (2.3)
де - зональні гравітаційні моменти тіла,
- тесеральні гравітаційні моменти тіла.
Будь-яка симетрія будови тіла спричинює симетрію потенціалу, яка накладає певні обмеження на сталі Стокса.
1. Симетрія відносно екватора:
?(x, y, z) = ?(x , y, -z), Cn,n-2m-1 = Sn,n-2m-1 =0
2. Симетрія відносно нульового меридіану:
?(x, y, z) = ?(x, -y, z), Snm = 0
3. Симетрія відносно меридіану з довготою, рівною 900:
?(x, y, z) = ?(-x, y, z), Cn,2m+1 = Sn,2m = 0
4. Тіло переходить у себе після повороту на кут 2?/m навколо осі z:
?(r, ?+2?/m, ?) = ?(r, ?, ?)
тоді Cnk = Snk = 0, крім випадку, коли k ділиться на m.
5. Симетрія відносно трьох координатних площин:
Snm = Cn,2m+1 = C2n+1,m = 0
6. Симетрія відносно осі Oz:
Cnm = Snm = 0, m ? 1
7. Симетрія відносно осі Oz і екватора:
C2n+1,0 = Cnm = Snm = 0, m ? 1
8. Сферично-симетричне тіло:
Cnm = Snm = 0, n ? 1,
тобто .
Властивості 1-8 - часткові випадки загальної закономірності, якщо ?(r,g?) = ?(r,?), то Фn(r,g?) = Ф(r,?), де g - елемент якої-небудь підгрупи обертань сфери з відображеннями.
Оскільки сферичні функції ортогональні: (n ? m), - то при m = 0 маємо
(n ? 0),
і сферична функція при n ? 1 повинна змінювати знак. На розташуванні ліній зміни знаку побудована загальноприйнята класифікація базисних функцій.
1. Зональна гармоніка: m = 0
Yn(?, ?) = Pn(cos?).
Області знакосталості - сферичні пояси, зони. Їх розділяють на n нульових паралелей, як це свідчить із властивостей коренів поліномів Лежандра (рис. 2.2а).
2. Тесеральні гармоніки отримуються при m=1,2,...,n-1 і мають, відповідно, вигляд
Yn = Pnm(cos?)cosm? або Yn = Pnm(cos?)sinm?.
Кожна з таких функцій обертається на нуль на (n - m) паралелях і m меридіанах, якщо великі кола, чи 2m меридіанах, якщо рахувати їх від полюса до полюса. Області Yn > 0 і Yn < 0 розташовуються в шахматному порядку (рис. 2.2б). Всього тесеральних гармонік із заданим n є 2(n - 1). Така ж картина з точністю до повороту спостерігається у нормованої комбінації обох розглянутих гармонік виду
Yn = Pnm(cos?)cos(? - ?0).
3. Секторіальні гармоніки отримуються при n=m і мають вигляд
Yn = Cn sinn?cosn? або Yn = Cnsinn?sinn?, Cn = (2n - 1)!!
Вони обертаються на нуль тільки на 2n дугах меридіанів (рис. 2.2в), яким сфера розбивається на сектори по черзі з Yn > 0 і Yn < 0.
Нормування стандартних сферичних гармонік для:
зональних -,
тесеральних та секторіальних -.
Виділимо основні властивості функцій Лежандра [42].
1. Багаточлени та приєднані функції Лежандра є функціями, які ортогональні в області -1 ? t ? 1
(n ? m)
(k ? n)
2. Інтеграл від квадрата функцій Лежандра, взятий у межах від -1 до +1, дорівнює
При t = cos?
3. Багаточлени Лежандра при аргументах (+1) і (-1) дорівнюють
Pn(1) = 1, Pn(-1) = (-1)n,
а при аргументі 0 дорівнюють
P2n-1(0) = 0, .
4. Коефіцієнт при вищому степеню t багаточлена Лежандра дорівнює
5. Інтегральні властивості поліномів Лежандра
6. Інтегральне відображення поліномів Лежандра
, (0 < ? < ?).
Два наслідки Мелера:
а) (0 < ? < ?);
б) .
Оцінки поліномів Лежандра:
(k ? 0),
, (0 < ? < ?).
Розглянемо приклади точного визначення сталих Стокса для деяких простих тіл [42].
1. Потенціал точкової маси