РОЗДІЛ 2. ДОСТАТНІ УМОВИ РОЗВ'ЯЗАННЯ ІГРОВИХ ЗАДАЧ ЗБЛИЖЕННЯ В КЛАСІ СТРОБОСКОПІЧНИХ СТРАТЕГІЙ
В цьому розділі дається обгрунтування методу розв'язуючих функцій для широкого класу конфліктно-керованих процесів. Встановлено достатні умови розв'язності ігрових задач зближення в класі стробоскопічних стратегій в формі зірчатості по конусу певних багатозначних відображень або в більш загальному вигляді - опуклозначності відображень, для яких опорна функція є розв'язуючою. Запропонована окрема схема методу розв'язуючих функцій, орієнтована на використання лише стробоскопічних стратегій, і більш загальна, ніж перший прямий метод Понтрягіна. Дано описання методу для випадку фіксованих точок множини та встановлено функціональну форму першого прямого методу Понтрягіна в термінах розв'язуючих функцій.
Для всіх вище згаданих випадків отримані глобальні умови співпадання гарантованих часів закінчення гри. При цьому ключову роль відіграють опуклозначність відображень і афінність термінальної множини. Для першого прямого методу Понтрягіна і методу розв'язуючих функцій встановлено локальні умови порівняння гарантованих часів в термінах включень для спеціальних конусів.
Отримані теоретичні результати ілюструються на спеціальному прикладі з неповним вимітанням, який показує, що гарантовані часи усіх розглянутих схем зближення можуть відрізнятися.
2.1. Постановка задачі, схема методу розв'язуючих функцій, достатні умови закінчення гри в класі квазістратегій
Розлянемо конфліктно-керований процес, еволюція якого описується рівністю
, . (2.1.1)
Тут , функція , , є вимірною за Лебегом і обмеженою при , матрична функція , , вимірна по , а також сумована по для кожного . Блок керування задається функцією , , яка вважається неперервною за сукупністю змінних на прямому добутку непустих компактів і , тобто , , , , - натуральні числа.
Керування гравців , , і , , є вимірними функціями часу.
Крім процесу (2.1.1) задана термінальна множина , яка має циліндричний вигляд
, (2.1.2)
де - лінійний підпростір з , а , де - ортогональне доповнення до в .
Цілі першого і другого гравців протилежні. Перший намагається вивести траєкторію процесу (2.1.1) на термінальну множину за найкоротший час, а другий - максимально відтягнути момент попадання траєкторії на множину або взагалі уникнути цієї зустрічі.
Приймемо сторону першого гравця і будемо орієнтуватися на вибір супротивником в якості керування довільної вимірної функції, що приймає значення з . В свою чергу, будемо вважати, що якщо гра (2.1.1), (2.1.2) триває на інтервалі , то керування першого гравця в момент будемо вибирати на основі інформації про і , тобто у вигляді вимірної функції
, , , (2.1.3)
де -- передісторія керування другого гравця до моменту , або - у вигляді контркерування
, , . (2.1.4)
Якщо, зокрема, , , , а - матрична експонента, то кажуть, що керування реалізує квазістратегію [31, 70], а контркерування є проявом стробоскопічної стратегії [56, 105].
Ціль даного розділу - встановити для конфліктно керованого процесу (2.1.1), (2.1.2) достатні умови закінчення гри зближення за гарантований час методу розв'язуючих функцій [87] в класі стробоскопічних стратегій та порівняти їх з першим прямим методом Л.С. Понтрягіна [56].
Позначимо через ортопроектор, що діє з в . Поклавши , розглянемо багатозначні відображення
,
на множинах відповідно і , де
.
Умова Понтрягіна. Багатозначне відображення приймає непусті значення на множині .
В силу властивостей параметрів конфліктно-керованого процесу (2.1.1) відображення , , є неперервним в метриці Хаусдорфа багатозначним відображенням. Тому з врахуванням допущень про матричну функцію можна зробити висновок, що при будь-якому фіксованому відображення є вимірним по на інтервалі і замкнутим по , , багатозначним відображенням. Тоді [82] відображення є вимірним по замкнутозначним відображенням на інтервалі . Зауважимо, що відображення , , взагалі кажучи, не є компактозначними, їх значення можуть бути необмеженими множинами.
Згадаємо, що сукупність непустих замкнутих множин простору . Тоді, очевидно,
В цьому випадку кажуть, що вимірні по багатозначні відображення і є нормальними [28].
З умови Понтрягіна і теореми вимірного вибору [82] випливає, що при любому існує хоча б один вимірний по селектор такий, що , . Позначимо множину таких селекторів через і введемо фукцію
, (2.1.5)
де - деякий фіксований селектор. В силу допущень селектор є сумованою по , , функцією при любому .
Розглянемо багатозначне відображення
,
, (2.1.6)
і його опорну функцію у напрямку
, , .
Цю функцію називають розв'язуючою [87].
Оскільки виконана умова Понтрягіна, то багатозначне відображення на множині має непустий замкнутий образ. Слід також зауважити, що при і, відповідно, при будь-яких і .
Враховуючи властивості параметрів конфліктно-керованого процесу (2.1.1), (2.1.2), теореми про характеризацію та обернений образ можна показати, що багатозначне відображення є -вимірним по , , , , а розв'язуюча функція є -вимірною по , , в силу теореми про опорну функцію [82] при .
Розглянемо функцію
. (2.1.7)
Якщо для деякого , то будемо вважати, що функція вимірна по , . Якщо це не так, то функцію будемо визначати за формулою
.
Оскільки функція є -вимірною по , , то вона суперпозиційно вимірна, тобто є вимірною функцією при будь-якій вимірній функції , .
Якщо , то для і в цьому випадку значення інтеграла у співвідно