РОЗДІЛ 2
ОСНОВНІ ВІДОМОСТІ, СПІВВІДНОШЕННЯ ТА МЕТОДИ
ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ
У праці [96] продемонстровано, що в околі нерегулярних точок, які утворюють
гладку криву (точок зламу поверхонь тіла чи поверхонь спряження матеріалів),
дослідження напруженого стану в просторовому випадку зводиться до вивчення двох
двомірних задач теорії пружності для ізотропних матеріалів – плоскої деформації
та поздовжнього зсуву.
У даному розділі задача дослідження двовимірного напружено деформованого стану
клинового композиту складеного з довільної кількості зчеплених між собою
однорідних клинів , що мають спільне прямолінійне ребро (вістря клинової
системи) і містять прямолінійні тонкі, радіально розташовані дефекти або
включення (рис. 2.1) зведена до знаходження та дослідження поведінки розв’язків
частково вироджених диференціальних рівнянь із постійними або
кусково-постійними коефіцієнтами.
Рис. 2.1. Загальна схема багатоклинової системи
з тонкими, радіально розташованими дефектами
Для зручності аналітичні перетворення будуть здійснюватися в полярній системі
координат , з центром у точці сходження клинів та полярною віссю, спрямованою
так, щоб межовій поверхні (якщо в системі присутній клиновий виріз) відповідала
полярна координата , або вздовж однієї із ліній зчеплення, якщо система є
суцільним тілом складеним із клинів.
2.1. Співвідношення лінійної теорії пружності для однорідних
ізотропних середовищ
У випадку просторової задачі лінійної теорії пружності, для визначення
напружено-деформованого стану однорідного середовища, за відсутності масових
сил маємо: геометричні співвідношення Коші, що пов’язують компоненти вектора
переміщень із компонентами тензора деформацій; фізичні співвідношення (закон
Гука), що пов’язують компоненти тензорів напружень і деформацій; рівняння
рівноваги, які в циліндричній системі координат набирають такого вигляду [17]:
співвідношення Коші –
233
закон Гука –
445
рівняння рівноваги –
657
Тут , ; – об’ємне розширення; ? символ Кронекера; , ? компоненти тензорів
напружень і переміщень, відповідно; , , – коефіцієнти Ляме; , ? відповідно,
модуль пружності та коефіцієнт Пуасона.
У випадку плоскої деформації , , і залежності (2.1) – (2.3) набирають такого
вигляду:
співвідношення Коші –
869
закон Гука –
10711
де – об’ємне розширення, причому з урахуванням співвідношень (2.4) йому можна
надати такого вигляду:
12813
рівняння рівноваги –
14915
які, враховуючи (2.6), можна подати у вигляді
161017
У випадку антиплоскої деформації, коли , , , залежності, які відповідають (2.1)
– (2.3) будуть такими:
співвідношення Коші –
181119
закон Гука –
, 201221
який з урахуванням (2.9) матиме вигляд
; 221323
рівняння рівноваги
, 241425
яке на основі (2.11) зводиться до:
261527
Для однозначності визначення напружено-деформованого стану сукупність
співвідношень (2.4) – (2.7) для плоскої та (2.9) – (2.12) для антиплоскої задач
необхідно доповнити крайовими умовами, які полягають у заданні на поверхнях
тіла зовнішнього навантаження або переміщення як функції координат
281629
? у випадку плоскої задачі;
301731
? у випадку антиплоскої задачі.
У загальному випадку умови можуть бути також змішаними, тобто на одній частині
поверхні задане навантаження, а на другій ? переміщення, чи на одній і тій же
поверхні задані окремі складові вектора напружень і, доповнюючі їх, складові
вектора переміщення (плоска задача).
Одним з методів, що успішно використовується під час розв’язування крайових
задач пружності для клинових областей є метод інтегральних перетворень Мелліна
[79, 106, 112, 126 та ін.].
2.2. Інтегральне перетворення Мелліна
Перетворенням Мелліна функції називають інтеграл [79, 112]
321833
де – деяке комплексне число, що належить смузі .
Достатніми умовами існування перетворення Мелліна є кускова неперервність
функції у довільному проміжку та збіжність інтегралів
341935
Якщо функція в довільному проміжку задовольняє умови Діріхле [112, 126], тобто
має скінченну кількість:
1. максимумів та мінімумів на проміжку ;
2. скінченних розривів на проміжку ,
і не має нескінченних розривів неперервності,
то існує формула, котра подає функцію через її зображення
, 362037
Значення , визначаються з умови абсолютної збіжності інтегралу (2.16), якщо
відома поведінка функції при та при . У випадках, коли відома поведінка лише
біля одного з кінців проміжку , наприклад, при , то визначається величина і
пряма інтегрування проводиться лівіше від прямої , але правіше від найближчої
особливої точки функції .
Основними властивостями перетворення Мелліна, згідно[9], є:
382139
402241
2.3. Постановка узагальненої задачі спряження для кусково-однорідної клинової
системи
У роботах [55, 97] запропоновано потужний метод математичного моделювання
механічної, теплової та термомеханічної поведінки кусково-однорідних тіл
(систем) з одновимірною неоднорідністю. Метод ґрунтується на використанні
елементів апарату узагальнених функцій, зокрема імпульсних (асиметричних
одиничних функцій Хевісайда та дельта-функцій Дірака), і постановки
узагальненої задачі спряження для лінійних дифереціальних операторів зі сталими
коефіцієнтами відповідних задач теорії пружності, теплопровідності та
термопружності.
Авторами цих робіт з’ясовано, що у лінійній механіці тіло з одновимірною
кусково-неперервною неоднорідністю правомірно розглядати як єдине ціле за
допомогою подання величин, які описують напружено-деформований стан
(переміщень, деформацій, напружень) та коефіцієнтів диференціальних операторів,
які фігурують у ключових (основних) рівняннях і співвідношеннях у вигляді
кусково-неперервних функцій
- Київ+380960830922