РОЗДІЛ 2
ПОТЕНЦІЙНА ЗАВАДОСТІЙКІСТЬ ІДЕАЛЬНОГО ПРИЙМАЧА ЧМ СИГНАЛІВ ГРУПОВОЇ МОВНОЇ
ІНФОРМАЦІЇ
Для визначення границь підвищення завадостійкості приймальних пристроїв ЧМ
сигналів, промодульованих груповим мовним повідомленням, необхідно розрахувати
граничну потенційну завадостійкість такого сигналу, якої можна досягнути при
використанні новітніх методів його обробки.
Метою даного розділу є удосконалення аналітичних виразів, для визначення
потенційної (тобто граничної) завадостійкості ЧМ приймача, проведення її
уточненого розрахунку, порівняння з раніш отриманими наближеними розв‘язками та
визначення умов застосування наближених методів.
Такий розрахунок був проведений в [50,51] шляхом обчислення подвійного
гіпергеометричного ряду. Аналітичний розрахунок, проведений в [77] для випадку
сигналу УКХ ЧМ радіомовлення з нормальним розподілом амплітудного спектру ЧМ
коливання і модулювального повідомлення, який відповідає марковському процесу,
з подальшою високочастотною передкорекцією. Цей аналіз виконаний за допомогою
розкладу в ряд по ортогональним поліномам Ерміта з їх обмеженням шостим
порядком.
В даному розділі, на відміну від [51], враховано розподіл амплітудного спектру
ЧМ коливання, а порівняно з [77] порядок поліномів збільшений до восьми, тому
одержано більш точні результати при достатньо великих відношеннях сигнал/шум на
вході приймача. В основу подальших розрахунків (у відповідності до [50])
покладено, що основною властивістю ідеального приймача, тобто приймача, в якому
відсутня втрата інформації, є однаковість пропускної здатності ЧМ та НЧ
трактів.
Ці пропускні здатності визначають з виразу [50; 60]
, (2.1)
де
С - пропускна здатність каналу з шумом;
z - миттєві значення суми спектральних складових сигналу і шуму;
р[z(w)] - частотна залежність сумісного розподілу миттєвих значень амплітуди
для суми сигналу і шуму;
р(nш) - розподіл миттєвих значень амплітуди шуму.
Отже, для розрахунку потенційної завадостійкості ідеального приймача необхідним
є розрахунок його пропускної здатності.
Для зручності математичних викладок величина пропускної здатності розрахована в
натуральних одиницях і має розмірність частоти.
2.1. Уточнений розрахунок пропускної здатності ЧМ тракту
У вираз (2.1) для пропускної здатності входить густина ймовірності суми
миттєвих значень сигналу і шуму, для якої необхідно задатися розподілами
амплітуди сигналу та миттєвих значень шуму.
Розподіл миттєвих значень амплітуди для широкосмугового ЧМ сигналу з
рівномірною фазою визначений в [37]:
, (2.2)
де r(w) - частотна залежність відношення квадрату амплітудного спектру сигналу
і енергетичного спектру шуму.
Цей же розподіл для шуму передбачається нормальним
, (2.3)
який У [51] за допомогою зворотного перетворення Фур‘є від добутку відомих
характеристичних функцій [100] одержано розподіл миттєвих значень суми (2.2) і
(2.3)
, (2.4)
який потім приведений в [51] до нескінченного гіпергеометричного ряду, а
пропускна здатність розрахована надалі числовим методом для випадку ЧМ сигналу
модульованого повідомленням з рівномірними амплітудним спектром.
Однак при обчисленні завадостійкості пристрою ФАПЧ другого порядку [76] були
отримані значення вищі, ніж у ідеального приймача, що свідчить про наявність
неточностей у цих обчисленнях, неможливість застосування відомих даних та
необхідність проведення уточненого розрахунку.
В цій роботі такий уточнений розрахунок виконаний аналітичним методом,
відмінним від [51], з урахуванням, що енергетичні спектри ЧМ сигналу та
модулювального повідомлення відповідно описуються рівняннями
; (2.5)
; 0 < W < Wв, (2.6)
де Wв - верхня частота групового модулювального сигналу;
Дw - девіація частоти;
b - ефективний індекс частотної модуляції.
В граничному випадку, якщо спектр модулювального повідомлення є вужчим
порівняно з ефективною девіацією частоти, вираз (2.5) набуває вигляду
. (2.7)
Точні числові розрахунки, наведені в [37], виконані за формулою (2.5) для b =
1, показали, що середньоквадратична похибка апроксимації (2.7) не перевищує 5%,
тому при більш високих індексах модуляції похибка буде ще суттєво меншою.
Для отримання аналітичного виразу пропускної здатності, а відтак і потенційної
завадостійкості, розкладемо функцію Беселя, яка входить у (2.4), в
поліноміальний ряд [41]
(2.8)
Тоді (2.4) набуває вигляду
. (2.9)
Після інтегрування по змінній х розподіл (2.9) виражається рядом Еджворта
, (2.10)
де He2k(z) - поліноми Ерміта.
Розклавши в ряд логарифм ймовірності (2.9), та проінтегрувавши (2.1) по змінній
z, отримаємо наступний вираз для звичайної похідної пропускної здатності по
частоті
. (2.11)
Для отримання виразів інтегралів у нескінчених межах, що входять у (2.11),
врахуємо, що поліноми Ерміта [3] ортогональні з ваговим множником :
, k ? n, (2.12)
; (2.13)
Надалі скористаємось результатами інтегрування
, (2.14)
де s = k + l + m, а також подамо поліноми перших порядків при r4(w)
безпосередньо у вигляді многочленів
He0(z) = 1; He2(z) = z2 - 1. (2.15)
Після приведення подібних членів в (2.11) одержимо
. (2.16)
Характерною особливістю коефіцієнтів ak , які входять в (2.16) і розраховані за
допомогою виразів (2.12), (2.13), (2.14), є те, що перші три коефіцієнти (a1;
a2; a3) тотожно дорівнюють 1, а починаючи від четвертого (a4 ) є відмінними від
1 (зокрема a4 = 35/16 ? 2.19). Це свідчить про те, що при великих відношеннях
сигнал/шум пропускна здатні