РОЗДІЛ 2
ОБҐРУНТУВАННЯ СТРУКТУРИ І ПАРАМЕТРИЧНИЙ СИНТЕЗ
ВІБРАЦІЙНИХ МАШИН З ЕЛЕКТРОМАГНІТНИМ ПРИВОДОМ
ТА СКЛАДНИМ РУХОМ РОБОЧОГО ОРГАНА
2.1. Обґрунтування параметрів резонансної механічної коливальної системи з
чотирма ступенями вільності
З метою спрощення існуючих пружних систем, удосконалення конструкцій, зниження
маси та полегшення налагодження вібраційних машин із складним рухом робочого
органа, в якості резонансної пружної системи пропонується використовувати
вертикально встановлений вздовж осі вібромашини пружний стержень, механічні
властивості якого наведено у додатку Б.
2.1.1. Розрахунок власних частот коливань системи та жорсткості пружного
стержня методом скінченних елементів. Пружний стержень наділений чотирма
ступенями вільності – лінійні зміщення і крайніх ділянок та їх кути повороту і
відносно горизонтальної осі. На рис. 2.1 запропонована динамічна схема
резонансної МКС, де за відомих інерційних параметрів маховика 1 та робочої 2
коливальних мас якої, згинальна жорсткість вертикального пружного стержня 3, що
визначатиме умову резонансної роботи системи, буде функцією інерційних
параметрів цих мас, геометричних розмірів самого стержня та величини
резонансного налагодження системи : . Для розрахунку стержня, що працює на згин
по колу (рис. 2.2), потрібно розробити математичну модель руху двомасової МКС
за відносними узагальненими координатами: , , , , де і – миттєві переміщення
вздовж осі центрів мас і маховика 1 та робочої коливальної маси 2, внаслідок
силового збурення ; і – миттєві кути повороту маховика 1 та робочої маси 2
навколо власних центрів мас і під дією моменту .
Умова рівноваги двомасової МКС за принципом Д’Аламбера (без урахування
жорсткості закріплення реактивної коливальної маси 2) записана у
вигляді:
(2.1)
де , , , – сили та моменти інерції, що діють на коливальні маси; , , , –
поперечні сили та згинальні моменти в крайніх місцях перерізу стержня.
Рис. 2.1. Динамічна схема резонансної МКС: 1, 2 – маховик та робоча
коливальна маса; 3 – пружний стержень; 4 – віброізолятори; 5 – основа
Рис. 2.2. Схема навантаження стержня в силовій площині, де позначені силові
фактори: змушувальні (), поперечні в стержні (), інерційні()
Форми та функції деформацій при одиничних переміщеннях опор стержня показані на
рис. 2.3 [61]. Із їх урахуванням, прогин стержня виражається через його вузлові
переміщення як:
(2.2)
Рис. 2.3. Прогини стержня при одиничних переміщеннях опорних вузлів
Згідно методу скінченних елементів МСЕ [45, 61, 77, 98], записуємо вирази
внутрішніх сил, що передаються на вузли стержня:
(2.3)
Коефіцієнти жорсткості в умовах згину визначаються як [45]:
(2.4)
Матриця жорсткості стержня, отримана за допомогою (2.4), коли в якості
фундаментальних функцій форми використовуються вирази з рис. 2.3, має
вигляд:
(2.5)
Система сил загасання для стержня довжиною записується через матрицю
коефіцієнтів загасання у відповідності до [45]:
(2.6)
де характеризує в’язке загасання в стержні, .
Записавши систему (2.1) відносно сил і моментів інерції, поперечних сил та
згинальних моментів (2.5), без урахування сил загасання (2.6) та із урахуванням
жорсткості закріплення робочої маси 2, отримаємо систему диференціальних
рівнянь руху резонансної коливальної системи за чотирма ступенями вільності:
(2.7)
Запишемо систему (2.7) у матричному вигляді для знаходження амплітудних
значень переміщень кінців стержня:
. (2.8)
Прирівнявши визначник системи рівнянь (2.7) до нуля, отримаємо частотне
рівняння, без урахування еквівалентних жорсткостей віброізоляторів та :
, (2.9)
з якого можна визначити два додатні значення власних частот згинальних коливань
та системи з чотирма ступенями вільності:
, (2.10)
де
Для того, щоб система знаходилась в резонансі, потрібно щоб значення однієї із
власних колових частот співпало із значенням колової частоти вимушених коливань
.
Значення згинальної жорсткості стержня , за відомої його довжини , на
забезпечення необхідної власної частоти коливань двомасової системи, з
урахуванням інерційних параметрів для лінійних та кутових переміщень мас:
. (2.11)
За даним виразом можна здійснити підбір діаметра стержня на забезпечення
необхідної першої власної частоти коливань системи за її резонансним
налагодженням .
2.1.2. Розрахунок власних частот та форм коливань системи із урахуванням маси
стержня методом початкових параметрів. У деяких задачах частотного аналізу
динамічних систем виникає потреба в урахуванні маси пружних ланок. Для цього,
як правило, користуються методом початкових параметрів [18, 100] або методом
А. Н. Крилова [3], оскільки значення маси пружної ланки безпосередньо входить у
вираз власної частоти коливань. Така для двомасової коливальної системи задача
вирішена в одноосібній статі автора [34]. У МСЕ маса пружної ланки не входить у
значення частоти, а розглядається, як розподілене навантаження і зводиться до
зосереджених сил та моментів.
Амплітудний вектор стану довільного перерізу стержня (рис. 2.4) визначається
чотирма компонентами – прогином , кутом повороту , згинальним моментом і
поперечною силою .
Рис. 2.4. Стержень із трьома ділянками
Формула переходу від початку до кінця ділянки стержня запишеться
, (2.12)
де , , – матриці переходу відповідно через ділянки балки IIІ, II та I; , –
вектори (стовпці) стану в крайньому правому та лівому перерізах.
Матриця переходу через ділянку балки IІІ, де зосереджена робоча маса з моментом
інерції :
. (2.13)
Матриця переходу через ділянку стержня ІІ довжиною , жорсткістю із урахуванням
його маси () в