РОЗДІЛ 2
ПОЗДОВЖНЬО-ХВИЛЬОВі коливальні процеси стрічкових
носіїв інформації
Для визначення динамічних похибок реєстрації інформації на стрічкових носіях
допустимо, що швидкість реєстрації не обмежується технологічними можливостями
конкретного способу реєстрації, а завжди відповідає швидкості поступаючому за
одиницю часу обсягу інформації. Тоді, приймаючи поступаючий обсяг інформації
постійним і, вважаючи, що розподіл його по ширині носія відбувається також
рівномірно, можна допустити, що швидкість руху стрічки буде величиною
стабільною і пропорційною поступаючому обсягу інформації, а коливальні процеси
в місці реєстрації будуть визначати динамічні похибки.
Згідно нашої розрахункової схеми (рис. 1.1 б) і з врахуванням стаціонарної
швидкості руху стрічки, а також на основі [25, 27, 87, 88, 89], пружний
поздовжньо-коливальний процес можна подати рівнянням
+ -, (2.1)
для , при граничних умовах
, ,
, . (2.2)
Приймаємо початкові умови
, , . (2.3)
Тут прийняті позначення:
U(x,t) – переміщення стрічки з координатою х в довільний момент часу t;
с – швидкість поширення пружної поздовжньої хвилі (),
E,S,m0 – модуль пружності першого роду, січення і маса одиниці довжини
стрічки;
Vн – швидкість руху стрічки;
L,m – довжина і маса стрічки;
mрул – зведена маса рулону.
Загальний зв’язок подаємо у вигляді суми вільних і вимушених коливань [26, 90]
. (2.4)
2.1. Вільні коливання
Розглянемо деякі особливості вільних коливань. Поклавши , маємо систему рівнянь
,
,
, ,
яка зводиться до деякої узагальненої задачі на власні значення. Відшукуючи цей
розв’язок у вигляді
,
для невідомої функції знаходимо рівняння
, (2.5)
з граничними умовами
. (2.6)
Отриману граничну задачу перетворюємо на другу задачу для функції , поклавши
, (2.7)
де сталу вибираємо таким чином, щоб функція не містила в собі члена з першою
похідною. Диференціюючи (2.7) по , згідно зробленої заміни дістанемо рівняння
.
Вибираючи ,
і приймаючи до уваги, що
,
рівняння для приймає простий вигляд
, де . (2.8)
Відповідно до заміни (2.7) граничні умови (2.6) перетворюються в такі
, (2.9)
.
Тут прийняті позначення
, , , . (2.10)
Розв’язком рівняння (2.8), що задовольняє умову , є функція
, (2.11)
де – довільна постійна величина.
Підставляючи даний розв’язок в граничні умови для дістаємо характеристичне
рівняння
. (2.12)
Корені цього трансцендентного рівняння визначають спектр власних частот
коливань рухомої стрічки в залежності від параметрів системи.
Як видно з рівняння, коренями його є комплексні числа , модулі яких утворюють
зростаючу послідовність з точкою згущування в безмежності. Подаючи ліву частину
рівняння (2.12) у вигляді степеневого ряду по змінному і використавши критерій
Рауса-Гурвіца для цілих функцій [91] пересвідчуємся, що при всі корені рівняння
знаходяться в лівій напівплощині комплексного змінного . Фізично це означає, що
вільні коливання стрічки є завжди загасаючими. Причому, із збільшенням
швидкості стрічки і її жорсткості інтенсивність загасання збільшується.
В тому, що характеристичне рівняння не має дійсних коренів неважко
переконатись, подавши його наступним чином
, (2.13)
де , ,
,
і побудувавши відповідні криві. Як видно з рис. 2.1 графіки лівої і правої
частини рівняння (2.13) не перетинаються.
Рис. 2.1 Графіки функцій.
y = (крива 1),
y = (крива 2).
Для випадку рівняння (2.12) приймає простий вигляд і має суто уявні корені.
Справді, поклавши і , дістанемо рівняння (3.4), що характеризує спектр власних
частот нерухомого носія.
У відповідності з одержаними результатами загальний розв’язок вільних коливань
системи можна навести в такому вигляді
, (2.15)
де .
Тут уведені позначення , .
Як видно, коливання в кожній точці носія визначаються різницею нескінченних
сум прямих і зворотніх загасаючих хвиль. Функція завжди є комплекснозначною.
Відзначимо, що постійні коефіцієнти є комплексними величинами і визначаються з
початкових умов.
2.2. Аналіз усталених вимушених коливань носія в місці запису
Згідно з [26] усталений коливальний процес можна подати у вигляді
, (2.16)
для визначення невідомих функцій i одержуємо систему рівняння
, (2.17)
,
і граничні умови
,
(2.18)
,
.
Із системи (2.17) шляхом диференціювання виключаємо функцію .
,
,
.
Звідки
, (2.19)
. (2.20)
Диференціюємо рівняння (2.19) і з урахуванням (2.20) дістанемо рівняння
. (2.21)
Тут позначено
, .
Характеристичне рівняння для (2.21) має такий вигляд
. (2.22)
Коренями його є суто уявні числа
, , , .
Використавши формулу Ейлера, запишемо розв’язок рівняння (2.21)
, (2.23)
Значення функції з урахуванням (3.19) і (3.22) має вигляд
. (2.24)
Тут – сталі величини, які визначаються з умов (2.18).
Відзначимо, що даний частинний розв’язок неоднорідної задачі (2.1), (2.2) є
дійсною функцією.
Між сталими інтегрування існує залежність
, .
Звідки і .
Відповідн