РОЗДІЛ 2
НЕЛІНІЙНІ ПОПЕРЕЧНІ КОЛИВАННЯ довгомірних рухомих елементів машин
У цьому розділі вдосконалена математична модель динамічних процесів у
довгомірних рухомих елементах машин за рахунок представлення рівнянь руху в
узагальненому вигляді й одночасного урахування довільної постійної складової
швидкості руху, нелінійних і періодичних сил, різних типів крайових умов, а
також викладено основну ідею запропонованого [85, 86] методу визначення впливу
поздовжньої швидкості руху та фізико-механічних чинників на коливання лінійної
моделі гнучкої системи. В основу методу покладено: а) фізично обґрунтоване
припущення про те, що поздовжня швидкість руху системи спричиняє лише зміну
довжини відбитої хвилі й не впливає на її частоту; б) побудову, з урахуванням
наведеного припущення, розв’язку крайових задач, які описують динамічні процеси
у системі.
2.1. Диференціальні рівняння коливань довгомірних систем, які характеризуються
постійною складовою швидкості руху
Динамічні системи, що мають що мають нескінченне число ступенів вільності, а їх
рух описується рівняннями з частинними похідними, носять назву систем з
розподіленими параметрами. Системи з розподіленими параметрами можна
класифікувати за кількістю їх вимірів: одновимірні та багатовимірні. До
одновимірних динамічних систем відносять ті, два виміри котрих є значно меншими
порівняно з третім (нитка, канат, балка). Положення одновимірних систем із
розподіленими параметрами однозначно визначається функцією, яка описує форму
умовної матеріальної лінії, яку вона займає в довільний момент часу. Динамічний
процес в одновимірних системах з розподіленими параметрами описується функцією
лінійної незалежної змінної та часу . Описати цю функцію можна за допомогою
диференціального рівняння з частинними похідними, врахувавши всі чинники, що
впливають на динамічний процес (сили, початкові та крайові умови та ін.)
Для того, щоб отримати диференціальне рівняння поперечних коливань вказаної у
розділі 1 множини гнучких тіл, динамічні процеси у яких є предметом досліджень,
покажемо, для довільного положення довгомірної системи (рис.2.1а)), сили, що
діють на умовно виділений її елемент (рис.2.1б)).
а)
б)
Рис. 2.1. Схематична модель рухомої гнучкої системи та сили, які діють на
умовно виділений її елемент
Нехай
– сила натягу гнучкої довгомірної системи у перерізі з координатою ;
– відхилення від рівноважного положення перерізу з координатою в довільний
момент часу (мається на увазі у напрямку перпендикулярному до осі , адже
розглядаються поперечні коливання);
– кут, який утворює сила натягу з віссю ;
– маса одиниці довжини системи;
– швидкість поздовжнього руху системи.
Тоді проекції сили на осі і відповідно рівні: , .
Для малих коливань гнучкого елемента біля рівноважного положення [5, 17, 168]
величина сили натягу є незмінною для довільного перерізу [66] і в межах
прийнятого, видовженням системи внаслідок її пружних властивостей можна
знехтувати. Крім цього, для випадку малих коливань , .
Використовуючи теорему про зміну кількості руху для виділеного елементу на
проміжку часу від до , маємо
(2.1)
У випадку гладкої функції (а такою є форма поперечних коливань рухомих систем)
для інтегрального співвідношення (2.1) можна використати теорему про середнє
значення, представляючи його у вигляді
, (2.2)
де – деякі фіксовані координати з інтервалу , і відповідно – фіксовані моменти
часу з інтервалу .
Приймаючи, що , , отримуємо і відповідно . Останнє дозволяє диференціальне
рівняння (2.2) записати у вигляді
. (2.3)
Якщо врахувати, що для випадку змінних Ейлера
(2.4)
та
(2.5)
із (2.3) отримуємо
. (2.6)
Примітки:
1. Тут і нижче символами будемо позначати частинні похідні від функції по
відповідних аргументах, тобто: , , , , ;
2. Вважається, що система рухається вздовж осі зі сталою швидкістю (поздовжні
коливання відсутні), тому сума проекцій на вісь всіх сил, що діють на виділений
елемент рівна нулю;
3. Величина сили натягу значно більша від сили ваги елементарної довжини
системи і нею нехтуємо при складанні диференціального рівняння коливань;
4. Диференціальне рівняння вигляду (2.5) описує також і поздовжні коливання
рухомої пружної системи, тільки для останнього випадку – поздовжнє переміщення
системи, а під параметром слід розуміти модуль пружності матеріалу;
5. В тому випадку, коли густина матеріалу нерівномірно розподілена по всій
довжині системи, диференціальне рівняння її поперечних (поздовжніх) коливань
буде дещо складнішим;
6. Для розглядуваного класу довгомірних елементів машин вважається, що згинною
їх жорсткістю можна знехтувати, або вона є малою величиною. В іншому випадку
диференціальне рівняння поперечних коливань систем буде мати інший вигляд.
Таким чином, для аналізу впливу на коливальний процес швидкості руху, натягу
нитки, різної природи сил, способу закріплення треба побудувати розв’язок
диференціального рівняння (2.6) який задовольняв би певні крайові умови. На
даний час не існує точних аналітичних методів знаходження функції , яка
задовольняла б рівняння (2.6) при довільному вигляді правої його частини. Тому,
для розв’язування поставлених задач, одним із наступних завдань дослідження є
наближене описання функції і отримання розрахункових залежностей, які можна
використовувати в інженерних розрахунках при описі коливних процесів
довгомірних систем, які характеризуються поздовжньою швидкістю руху.
Для багатьох випадків коливань рухомих систем максимальне значення нелінійних
сил є значно меншим порівняно з сил
- Київ+380960830922