РОЗДІЛ 2
СПОСОБИ УТВОРЕННЯ ПЛОСКИХ ОРТОГОНАЛЬНИХ СІТОК
В розділі розглянуто способи побудови плоских ортогональних сіток, які в першому розділі не розглянуті або розглянуті неповно. Певна увага приділена утворенню ізотермічних сіток, які дають можливість одну і ту ж плоску фігуру конформно відображати у різних прямокутних криволінійних системах координат.
2.1.Заміна довільної сітки в площині на ортогональну
Як уже зазначалося в першому розділі, плоску сітку можна одержати прямокутним проекціюванням сімей координатних ліній поверхні на одну із площин проекцій. Практично це означає, що ми можемо попарно брати два із трьох параметричних рівнянь і побудувати три плоскі сітки (проекції поверхні). Нехай така сітка задана двома рівняннями:
,(2.1)де u, v - незалежні змінні в рівняннях (2.1).
Сітку (2.1) можна перевірити на ортогональність за допомогою формули (1.6). Довільно задана сітка, як правило, є неортогональною, оскільки ортогональність накладає певні умови на рівняння (2.1), які полягають в тому, що середній коефіцієнт F першої квадратичної форми рівнянь (2.1) має бути рівним нулю. Проте від такої довільної сітки можна перейти до ортогональної, взявши одну сім'ю координатних ліній без змін і відшукавши другу сім'ю ортогональних траєкторій до цієї сім'ї. Аналогічно можна взяти другу сім'ю без змін і шукати до неї ортогональні траєкторії. Такий пошук зводиться до розв'язування диференціального рівняння, яке не завжди може бути розв'язане аналітично, тому можливість конструювання ортогональних сіток таким способом є обмеженою.
Візьмемо, наприклад, плоску сітку, яка є фронтальною проекцією псевдосфери (рис. 1.2). Вона описується параметричними рівняннями:
(2.2)
Частинні похідні та коефіцієнти першої квадратичної форми рівнянь (2.2) мають вигляд:
(2.3)
(2.4)
Нерівність нулю коефіцієнта F свідчить про те, що сітка координатних ліній не є ортогональною (це видно також із рис. 1.2). Щоб знайти сім'ю ліній, ортогональну до однієї сім'ї координатних ліній, необхідно розв'язати диференціальне рівняння [22]:
(2.5)
Підставивши вирази коефіцієнтів (2.4) в рівняння (2.5) після скорочення одержимо:
(2.6)
В диференціальному рівнянні (2.6) вдається розділити змінні і воно зводиться до інтегрування виразів:
(2.7)
Після інтегрування виразу (2.7) одержимо:
(2.8)
де t - постійна інтегрування.
При довільному значенні постійної інтегрування t маємо нову координатну лінію, перпендикулярну до сім'ї прямолінійних координатних ліній сітки (2.2). При іншому значенні t буде інша крива, теж перпендикулярна до цієї сім'ї. Таким чином, постійну інтегрування t ми можемо прийняти за новий незалежний параметр замість . Із (2.8) знаходимо:
(2.9)
Підставивши (2.9) в (2.2), одержимо параметричні рівняння ортогональної сітки у функції змінних u, t:
(2.10)
Частинні похідні рівнянь (2.10) мають вигляд:
(2.11)
Знайшовши коефіцієнт F для похідних (2.11), переконуємося, що він рівний нулю, тобто сітка (2.10) є ортогональною. На рис. 2.1 вона побудована за рівняннями (2.10) при однакових приростах ?u і ?t. Незважаючи на це, координатні лінії розташовані нерівномірно. Не дивлячись на те, що обидві сім'ї є сім'ями прямих ліній, вони описуються непростими рівняннями (2.10).
Для того, щоб знайти сім'ю ліній, ортогональну до другої сім'ї координатних ліній (криволінійних) сітки (2.2), необхідно в рівнянні (2.5) зробити деякі заміни, а саме:
(2.12)
Підстановка похідних (2.3) в рівняння (2.12) дає наступне диференціальне рівняння:
(2.13)
В рівнянні (2.13) неможливо розділити змінні і його проінтегрувати, тому сім'ю ліній, ортогональну до координатних кривих ліній сітки (2.2) в аналітичному вигляді знайти не вдається.
2.2. Побудова сім'ї ортогональних траєкторій до однопараметричної множини конгруентних кривих
Однопараметричну множину конгруентних кривих можна отримати, рухаючи по певному закону задану криву у площині. Нехай такою кривою буде циклоїда:
(2.14)
де а - стала величина; v - змінний параметр.
Будемо рухати циклоїду вздовж осі Ох по лінійному закону прямо пропорціонально другому змінному параметру t. Тоді однопараметрична множина циклоїд запишеться параметричними рівняннями у функції двох змінних v і u:
(2.15)
де b - стала величина.
Частинні похідні і коефіцієнти першої квадратичної форми рівнянь (2.15) запишуться:
(2.16)
Диференціальне рівняння (2.5) після підстановки в нього коефіцієнтів (2.16) набуває вигляду:
(2.17)
де t - нова змінна замість v.
Підставивши вираз v із (2.17) в (2.15), одержимо параметричні рівняння ортогональної сітки:
(2.18)
а) б)
Рис. 2.2. Сітки, утворені однопараметричною множиною лінійного переміщення циклоїди вздовж осі Ох:
а) косокутна сітка, побудована за рівняннями (2.15) при а=b=1;
б) ортогональна сітка, побудована за рівняннями (2.18) при а=b=1
На рис. 2.2 за рівняннями (2.15) і (2.18) побудовані косокутна і ортогональна сітки.
При русі циклоїди вздовж осі Oy рівняння однопараметричної множини кривих має вигляд:
(2.19)
Частинні похідні і коефіцієнти першої квадратичної форми рівнянь (2.19) запишуться:
(2.20)
Диференціальне рівняння (2.5) після підстановки в нього коефіцієнтів (2.20) і розділення змінних приймає вигляд:
(2.21)
Після переходу від змінної v до нової змінної t згідно останнього виразу
(2.21) у рівняннях (2.19) одержимо рівняння ортогональної сітки:
(2.22)
На рис. 2.3 за рівняннями (2.19) і (2.22) побудовані косокутна і ортогональна сітки при переміщенні частини циклоїди.
а) б)
Рис. 2.3. Сітки, утворені однопараметричною множиною лінійного переміщення частини циклоїди вздовж осі Оy:
а) косокутна сітка, побудована за рівняннями (2.19) при а=b=1;
б) ортогональна сітка, побудована за рівняннями (2.22) при а=b=1
Із багатьох чудових властивостей логарифмічної спіралі одну можна використати