РАЗДЕЛ 2
МЕТОД АДАПТИВНОГО ОЦЕНИВАНИЯ
И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ДИНАМИКИ ФАКТОРОВ РАЗВИТИЯ ПРОИЗВОДСТВА
В разделе разрабатывается метод статистического оценивания и прогнозирования динамики факторов развития производства, основанный на использовании стохастической полиномиально-авторегрессионной модели и ее параметрической адаптации. Для выбора данной модели использована информационная технология предварительной статистической обработки данных, приведенная в Приложении Б. В разделе излагается сущность основных этапов обработки наблюдаемых данных, приводятся математические выражения, необходимые для разработки программного обеспечения информационной технологии оценивания и прогнозировании динамики факторов развития производства. Среди факторов, влияющих на развитие производства можно выделить внутренние и внешние. К внутренним факторам развития производства относится такой важный показатель производства как балансовая прибыль - основной источник собственного развития. К внешним факторам можно отнести мировые цены на энергоносители и сырье.
2.1. Стохастическая полиномиально - авторегрессионная модель
динамики основных показателей, определяющих развитие производства
Анализ результатов применения информационной технологии предварительной статистической обработки данных о динамике внутренних и внешних факторов развития производства, приведенных в Приложении Б, позволяет предложить унифицированную модель динамики таких процессов в виде суммы двух главных компонент - полиномиальной и авторегрессионной. Полиномиальная компонента характеризует долговременные тенденци в динамике анализируемого процесса. Авторегрессионная случайная коррелированная компонента характеризует квазисезонные изменения. Таким образом, представляющий интерес процесс можно аппроксимировать суммой полиномиальной (степени ) и авторегрессионной (порядка ) компонент
; (2.1)
где , (2.2)
, (2.3)
- параметры авторегрессии, ;
- дисперсия формирующего белого дискретного гауссовского шума.
Полиномиальная компонента представляется либо отрезком ряда Тейлора, либо отрезком ряда Чебышева. Полиномы Тейлора предпочтительны, если интервал времени наблюдения может расширяться. Точку разложения целесообразно выбирать в последний момент времени наблюдения . При этом несколько упрощается прогнозирование данной компоненты на предстоящие периоды.
Полиномы Чебышева взаимно ортогональны на дискретном множестве моментов времени . Их использование предпочтительнее при определении целесообразной степени полинома. При увеличении степени полинома необходимо вычислять только новые коэффициенты без пересчета коэффициентов при младших степенях.
Авторегрессионная компонента удовлетворяет разностному стохастическому уравнению (2.3) с начальными условиями , так что
Стационарная последовательность авторегрессии характеризуется нормированными коэффициентами автокорреляции
, (2.4)
причем,
(2.5)
- ненормированные коэффициенты автокорреляции (l=0,1,...,M-1);
- дисперсия авторегрессионной компоненты.
Из выражения (2.3) при условии следует, что
. 2.6)
Кроме того,
. (2.7)
Для дальнейшего представляется полезным использовать векторное представление последовательностей и .
Рассмотрим вектор-строки , , где символ T означает транспонирование вектора или матрицы.
Для вектора можно записать
, (2.8)
где - вектор с элементами ;
- матрица с элементами
, i=0,1,...,p ; k=1,2,...,M. 2.9)
Для вектора введем ковариационную матрицу размерностью
. (2.10)
Таким образом, в векторной форме можно записать
. (2.11)
Стремление использовать простейшие модели предполагает применение полиномов невысокой степени и последовательностей авторегрессии невысокого порядка.
В частности, для полинома Тейлора второй степени запишем
(2.12)
Для последовательности авторегрессии второго порядка получим
, (2.13)
причем,
(2.14)
(2.15)
В частности, для случая имеем систему уравнений
(2.16)
поскольку
Уравнения (2.16) называют уравнениями Юла-Уокера [13].
Из соотношений (2.16) непосредственно получим:
(2.17)
(2.18)
Последующие нормированные коэффициенты корреляции могут быть получены из рекуррентного соотношения (2.15).
Для последовательности авторегрессии первого порядка имеем: