РОЗДІЛ 2
ТЕОРЕТИЧНІ ДОСЛІДЖЕННЯ ДИНАМІЧНОЇ СИСТЕМИ ШПИНДЕЛЬ-ПАТРОН-ДЕТАЛЬ
2.1. Розробка загальної математичної моделі динамічної системи шпиндель-ШЦП-деталь
Динамічна система шпиндель-патрон-деталь має складні нелінійні пружні дисипативні характеристики.
Динамічна система своїми основними елементами має заготовку, яка встановлена в цанговому патроні.
Рис. 2.1. Конструктивна схема пружно-дисипативної системи
Для визначення жорсткості і аналізу пружної системи шпиндель - широкодіапазонний цанговий патрон - пруток - токарний автомат (Ш-ШЦП-П-ТА) конструкцію ШЦП представляємо у вигляді пружно-фрикційного шарніру, який характеризується трьома складовими жорсткості (радіальної Ср, поворотної Сп, осьової Со), коефіцієнтом демпфування Н та моментом тертя М (рис. 2.2, а) [63].
В поперечному перерізі замкнутий силовий контур патрона утримує пруток діаметром d на пружно-фрикційній підвісці (рис. 2.2, б), яка характеризується двома складовими жорсткості (радіальної Ср і крутильної Ск), моментом сил опору Мо від тертя і зчеплення в стиках.
а) б)
Рис. 2.2. Приведена модель пружної системи Ш-ШЦП-П-ТА у вигляді пружно-фрикційного шарніра (а) та пружно-фрикційної підвіски (б)
Основними параметрами системи, що впливають на її динамічні характеристики є: - момент інерції прутка відносно точки 0; Н - коефіцієнт демпфування; - поворотна жорсткість; - момент сухого тертя; - момент сил різання; - частота поперечних коливань прутка; - час; - фазовий кут зсуву; - момент неврівноваженого зміщення.
На основі аналізу конструктивної схеми та приведених моделей її елементів розроблена динамічна модель системи та її розрахункова схема (рис. 2.3).
Диференціальне рівняння повороту прутка, затиснутого в ШЦП буде:
(2.1)
де - момент інерції прутка відносно точки 0;
Н - коефіцієнт демпфування;
- поворотна жорсткість;
- момент сухого тертя;
- момент сил різання;
- коливання моменту сил різання; - частота поперечних коливань прутка; - час; - фазовий кут зсуву (рис. 2.3);
Рис. 2.3. Розрахункова схема динамічної системи шпиндель-ШЦП-деталь
- момент неврівноваженого зміщення, , де - момент від ваги прутка; - момент відцентрової сили, викликаний кутовим зміщенням шпинделя.
Так як момент інерції прутка відносно т. О , то ; - довжина прутка
- кут повороту заготовки, затиснутої в патроні.
Рівняння, яке описує систему - є квазілінійним. Якщо система має елементи з нелінійними характеристиками, вони описуються спеціальними математичними моделями.
Основні нелінійності моделі визначено параметрами , Н - нелінійна жорсткість і коефіцієнт опору, які мають випадкові зміни.
Нелінійними залежностями описуються також неврівноважені моменти, залежні від кута повороту: , де - момент від гравітаційних сил; - момент відцентрової сили; - коливання моменту сил різання.
Диференціальне рівняння коливань заготовки послужило основою для розробки блок-схеми моделі.
Для цього диференціальне рівняння приводиться до інтегрального рівняння [111, 114]
(2.2)
Згідно рівняння (2.2) побудована структурна блок-схема математичної моделі (рис. 2.4).
Рис. 2.4. Структурна блок-схема моделі
2.2. Визначення стохастичних параметрів радіальної жорсткості в функції кута повороту.
Параметри жорсткості залежать від багатьох факторів. Вони визначаються на основі проведених експериментальних досліджень.
Експериментальне визначення радіальної жорсткості цанги визначено згідно схеми (рис. 2.5)
Рис. 2.5. Схема визначення нелінійних та стохастичних параметрів радіальної жорсткості
В процесі експериментальних досліджень здійснено навантаження заготовки поперечною силою Р. Переміщення заготовки ? здійснено індикатором в залежності від кута повороту та величини сили. Значення жорсткості обчислюють за формулою
Радіальна жорсткість змінюється в залежності від полярного кута. На зміни радіальної жорсткості впливає властивість симетрії цанги по трьох вісях (рис. 2.6).
а б в
Рис. 2.6. Конструктивна схема цанги в перерізі (а), еквівалентна схема деформаційних елементів (б), експериментально визначена полярна діаграма радіальної жорсткості цанги (в).
В процесі експериментів знайдено параметри жорсткості при зміні експлуатаційних факторів. Діаграма жорсткості, виміряна експериментально, має випадкові зміни (рис. 2.7).
Рис. 2.7. Набір випадкових значень радіальної жорсткості патрона
В результаті статичної обробки набору діаграм жорсткості визначено математичне сподівання та дисперсію діаграми в залежності від полярного кута. Для визначення цих параметрів використовують наступні формули [110, 114]:
, (2.3)
Після обчислень знайдемо =55 Н/мкм; L=18
В першому наближенні можна прийняти нормальний закон розподілу випадкових значень жорсткості при фіксованому положенні полярного кута. При цьому, діапазон зміни жорсткості буде визначено математичним сподіванням mc та середньоквадратичним відхиленням ?сr. Враховуючи 3? знайдемо полосу зміни жорсткості в залежності від змін полярного кута.
а б
Рис. 2.8. Діапазон випадкових змін радіальної жорсткості (а) і математичне сподівання жорсткості в залежності від полярного кута (б)
Для математичного опису параметру жорсткості використана математична модель у вигляді квазістатичного випадкового процесу. При цьому прийнято, що математичне сподівання змінюється в залежності від полярного кута ?, а дисперсія не залежить від зміни кута ?. Відповідно даній моделі радіальна жорсткість цанги визначається залежністю:
де mc - математичне сподівання, ?с - випадкові зміни жорсткості в перерізі, що являють собою гаусівський випадковий процес із постійною дисперсією.
Для моделювання випадкових змін жорсткості використано канонічний розклад випадкового процесу ?с по системі синусоїдальних функцій.
Матем