РАЗДЕЛ 2
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ РАЗРАБОТКИ МЕТОДА КОНТРОЛЯ СОСТОЯНИЯ ШТАНГОВОЙ КОЛОННЫ, НАХОДЯЩЕЙСЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ КОМПЛЕКСА СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ
2.1. Общая модель процесса деформирования в скважине с криволинейной осью
Вопросы оценки технического состояния штанговой колонны глубинно-насосных установок для добычи нефти (ГНШУ) могут быть решены с учетом информации о поведении колонны вдоль скважины, поскольку в процессе эксплуатации колонны под действием сил различной природы, которые в большинстве случаев не могут быть формально описаны некоторыми аналитическими соотношениями, имеет место потеря устойчивости колонны с образованием спиралевидной конфигурации оси колонны [54, 86, 87]. Математическое моделирование процесса деформирования колонны позволяет рассмотреть многие возможные пространственные конфигурации как самой колонны, так и скважины, в которой она находится, поскольку в общем случае скважина не является прямолинейной. Аппаратными исследованиями возможно определение пространственной конфигурации оси скважины в проекциях на оси декартовой системы координат, при этом определяются координаты некоторого множества точек О(xi, yi, zi ).
Применяя интерполяционные или апроксимационные процедуры, можно восстановить аналитическое представление оси скважины по всей её длине, поэтому при моделировании пространственного положения этого объекта можно считать, что ось скважины задаётся некоторой линией с радиус-вектором каждой точки [88]:
0? t ?t0, (2.1)
где - радиус-вектор точки на оси скважины; x, y, z - декартовы координаты точки; t - параметр кривой.
Длина скважины в таком случае может быть определена по формуле:
(2.2)
Поскольку после потери устойчивости колонна принимает спиралевидную конфигурацию, для радиус-вектора точки на оси колонны справедливо выражение:
, (2.3)
где - бинормаль и нормаль к оси скважины; k - параметр, определяющий количество витков, совершаемое колонной до нижней границы скважины; s - параметр, определяемый длиной дуги оси колонны:
(2.4)
R - величина, определяемая радиусом скважины.
В дальнейших расчётах производится замена переменных, вследствие чего и - вектор, касательный к оси колонны - рассматриваются как функции параметра . Координаты и могут быть определены с помощью формул Френе-Серра:
(2.5)
где К - кривизна кривой, определяемая по формуле:
(2.6)
а производная по параметру s определяется по формуле для некоторого вектора :
(2.7)
Во многих практических задачах формулы для вычисления и могут быть существенно упрощены. Если перемещения оси осуществляются только вдоль оси Оу, то можно применять:
(2.8)
Формула (2.3) определяет радиус-вектор оси колонны. Если же необходимо рассмотреть деформацию колонны как деформируемого твёрдого тела, необходимо построить в любой момент времени радиус-вектор точки колонны в указанной системы координат с использованием методики, разработанной в [89]:
(2.9)
где - касательная, нормаль и бинормаль к оси колонны, вычисляемые с учётом (2.5), а также формул:
(2.10)
где - кручение кривой:
(2.11)
Формулы (2.10) позволяют получить более компактные представления для векторов, входящих в (2.9). В тех случаях, когда определяются более простыми формулами, например, зависимостями (2.8), производные типа (2.10) вычисляются путем формального дифференцирования соответствующих функций, задающих указанные векторы.
Функции в (2.9): ; ; задают изменения геометрической конфигурации колонны в пространстве: - тангенциальные перемещения по полярному углу ; - перемещения вдоль радиальной координаты ; - продольные перемещения вдоль координаты по длине колонны. Задание этих функций каким-либо путём определяет трёхмерные перемещения тела. Учитывая формулы (2.10), можно записать:
, (2.12)
где - кривизна и кручение оси скважины; - кривизна оси колонны; для величин А, В, С справедливы следующие соотношения (с учётом зависимостей в первом выражении в (2.12):
(2.13)
Для определения деформации колонны рассчитываются компоненты векторов ковариантного базиса ; ; ;
(2.14)
где Кс, ?с - кривизна и кручение оси колонны.
С учетом (2.14), ковариантные компоненты метрического тензора, определяемые по формулам [90]:
; (2.15)
что приводит к следующим соотношениям [91]:
(2.16)
(2.17)
(2.18)
(2.19)
(2.20)
. (2.21)
Указанные компоненты вычисляются в начальный и конечный моменты времени. При условии, что функции являются известными, на основании конкретных компонент матричного тензора можно определить компоненты тензоров деформаций и напряжений. В том случае, когда указанные функции неизвестны, для их определения используется либо решение системы уравнений теории упругости в перемещениях в рамках модели изотропного или анизотропного деформируемого упругого твердого тела, либо задача сводится к нахождению экстремума функции нескольких переменных, полученной при приближенном решении задачи теории упругости с использованием одного из известных проективных методов [92].
В качестве начального положения колонны рассматривается такая конфигурация её оси, при которой ось колонны совпадает с осью скважины - при этом спиралевидность колонны в начальный момент отсутствует. Для определения конфигурации оси в контрольный момент времени необходимо задать способ определения параметра К, после чего вычисление деформаций производится по известной формуле [92]:
(2.22)
где - компоненты тензора деформаций; и - компоненты метрического тензора, определяемые по (2.16) - (2.21) соответственно в контрольный и начальный моменты времени.
Оценка напряжений может быть произведена в рамках модели изотропного или анизотропного упругого тела с использованием закона Гука:
(2.23)
где - параметры Ламе материала; - первый инвариант тензора деформаций; - контравариантные ко