Розділ 2. Задача про усталений рух міжфазної електропроникної тріщини в п'єзоелектричному біматеріальному просторі
2. 1 Основні властивості п'єзоелектричних матеріалів
П'єзоелектричний ефект був відкритий в 1880 році братами П'єром і Жаком Кюрі. Вони виявили, що якщо кристали деяких діелектриків (сегнетової солі, кварцу й ін.) піддати механічному впливу, стиску, то на їхній поверхні з'являються електричні заряди . Це явище - виникнення електричного поля в результаті тиску - було названо прямим п'єзоэфектом. При дослідженні електричних властивостей твердих діелектриків кристалічної структури П'єр Кюрі сформулював досить загальний принцип, що тепер називається принципом Кюрі. Зміст його полягає в наступному: явище має всі ознаки симетрії, якими володіє причина, що їх породила; асиметрія явища визначена асиметрією причини. Оскільки у вершинах кристалічної решітки розташовані іони протилежних знаків, то сумарний заряд кристалів будь-якої форми дорівнює нулю. Однак якщо центри позитивних і негативних зарядів не збігаються, то дипольний момент кристала відмінний від нуля й має поляризацію. Тому якщо дипольний момент кристала в недеформованому стані дорівнює нулю, то в результаті деформації кристала під механічним впливом центри позитивних і негативних іонів можуть зміститися один щодо іншого й на поверхнях кристала з'являються заряди протилежних знаків. Можливість такого зсуву залежить від симетрії (форми) кристала. Зворотний п'єзоэфект полягає в тому, що вільні кристали, що володіють прямим п'єзоэфектом, під впливом електричного поля деформуються. Незабаром брати Кюрі експериментально підтвердили зворотний п'єзоэфект. Сформульований принцип і теорія груп дозволили виділити класи кристалів, які володіють п'єзоэфектом. Перші кількісні виміри, що встановлюють зв'язок величини заряду з тиском на кристалах сегнетової солі, були проведені Поккельсом в 1894 році. У математичну форму ці кількісні співвідношення були сформовані німецьким вченим Фойгтом (Voigt) в 1910 році. В 1928 році він привів досить повну систему цих співвідношень, що узагальнювала накопичені знання в області п'єзоелектрики за попередній період. Співвідношення, отримані Фойгтом, є основними для побудови математичної моделі в електропружності.
Як відомо, рівняння електродинаміки встановлюють диференціальний зв'язок між векторами напруження електричного поля , електричної індукції , напруженості магнітного поля , магнітної індукції . Всі п'єзоэлектрики є діелектриками, а п'єзоелектричні ефекти, які для них характерні, можна умовно назвати квазімеханічними, оскільки вони зв'язані зі швидкостями, значно меншими швидкості світла в діелектрику. У цьому випадку магнітними ефектами можна знехтувати й замість рівнянь електродинаміки розглядати рівняння електростатики, які для діелектрика, що не володіє п'єзоефектом, можна записати у вигляді
, ,
, .
де - компоненти тензора діелектричних проникностей (постійні матеріалу, що визначають його властивості як діелектрика). Для більшості діелектричних матеріалів механічне поле й електричне поле, що визначається векторами E, D або потенціалом електричного поля, , не зв'язані. У випадку наявності п'єзоэффекта такий зв'язок існує.
Співвідношення Фойгта в сучасному варіанті можуть бути представлені наступним чином
, ,
де й відповідно тензор напружень і вектор переміщень.
Можна виділити два напрямки, що визначають сучасний розвиток электропружності: перший пов'язаний зі створенням нових матеріалів, у тому числі композиційних, і прогнозуванням їхніх властивостей, другий - з розвитком математичного моделювання в області вдосконалювання розрахунків перетворювачів різного призначення.
2.2. Постановка задачі і представлення функцій електро-пружно-деформівного стану через кусково-аналітичні функції
Розглянемо міжфазну тріщину кінцевої довжини (), що рухається у п'єзоелектричному біматеріальному просторі під дією зосередженого навантаження ( ), наведену на Рис. 2.1.
Вважається, що напрямки поляризації обох матеріалів перпендикулярні фронту тріщини і для верхнього (першого) визначаються кутом , а для нижнього (другого) - перпендикулярні площині тріщини. Усталений рух відбувається з докритичною швидкістю . Вважається, що біля правої вершини тріщини виникає зона контакту () невідомої поки що довжини, тертя в якій відсутнє.
Рівняння руху для п'єзоелектричного середовища в декартовій нерухомій системі координат в квазістатичному наближенні [6] мають вигляд
, . (2.1)
Визначальні співвідношення, що зв'язують механічні напруження і електричну індукцію з деформаціями й електричною напруженістю можуть бути записані у формі
, . (2.2)
У формулах (2.1), (2.2) - компоненти тензора напружень, вектора переміщень, вектора електричної індукції, потенціал електричного поля відповідно. - компоненти тензора пружних постійних, - п'єзоелектричні константи, - діелектричні проникності матеріалу, - щільність матеріалу.
Аналогічно випадку анізотропних матеріалів, введемо в розгляд вектор і зробимо заміну координат , , . Тоді рівняння (2.1) у рухливих координатах перепишуться в такий спосіб
, (2.3)
де
, , , (2.4)
, , , . (2.5)
У рухливій системі координат граничні умови на берегах тріщини мають вигляд:
; ; , ,, (2.6)
; ; ; ; ,, (2.7)
; ; , ; , . (2.8)
Будемо розглядати швидкість не перевищуючу , де - мінімальна швидкість поверхневої хвилі, що рухається уздовж інтерфейсу з фронтом, паралельним фронту тріщини . У цьому випадку рівняння (2.3) являють собою систему рівнянь у частинних похідних еліптичного типу, для рішення якої можна використовувати підхід узагальнених комплексних потенціалів аналогічний викладеному у першому розділі. Припускаючи, що вектор не залежить від будемо шукати рішення системи (2.3) у вигляді
, (2.9)
де - вектор-функція узагальненої комплексної змінної ; - вектор, компоненти якого отримаємо із рішення систем