РОЗДІЛ 2
РОЗВ’ЯЗОК ЗАДАЧ ПРО Напружений стан нетонких трансверсально-ізотропних пластин
з круговими отворами
2.1.Деякі положення тензорного аналізу і механіки деформівного
твердого тіла
Розглядаються пружні тіла типу оболонок і пластин з круговими отворами. За
вихідні приймаються співвідношення лінійної теорії пружності [87], [216],
[217]. Тіла знаходяться під дією поверхневих силових навантажень. В основу
розв’язку задач покладено метод розвинення шуканих функцій в ряди Фур’є за
поліномами Лежандра координати товщини. Відносно коефіцієнтів розкладу, як
функцій двох незалежних змінних виводиться система диференціальних рівнянь і
відповідні граничні умови. Коефіцієнти розкладу, що іменуються моментами,
знаходяться із розв’язку відповідних двомірних граничних задач.
Теорія оболонок, як відомо, ґрунтується на введенні різних криволінійних систем
координат. Вважається, що оболонка, як тривимірне тіло займає деяку область
тривимірного простору. Нехай (коротко ) координати точки суцільного середовища
деякої криволінійної системи координат. Положення цієї точки простору
визначається радіус-вектором , проведеного із фіксованої точки в точку з
координатами . При цьому допускається, що однозначна і неперервно
диференційована функція. Якщо в зафіксувати дві із трьох координат, то матимемо
рівняння деякої кривої, що називається координатною лінією. Продиференціювавши
вектор по координаті , матимемо три вектори
, (2.1)
направлених по дотичним до відповідних координатних ліній.
Вектор-функції утворюють базис даної координатної системи. Так як
, (2.2)
то квадрат лінійного елементу простору визначається формулою
, (2.3)
де - компоненти метричного тензора;
. (2.4)
Тут і далі за індексами, що повторюються слід розуміти суму, причому латинські
букви приймають значення 1,2,3, а грецькі - 1,2.
При використанні криволінійної системи координат доцільно ввести спряжені
базисні вектор-функції за формулами [218]
; ; , (2.5)
де : - об’єм паралелепіпеда, побудованого на базисних векторах . Оскільки
базисні вектор-функції і неколінеарні, то довільний вектор можна представити у
вигляді лінійної комбінації як векторів так і векторів , тобто
. (2.6)
Другі похідні від вектор-функції мають таке представлення [110]
, (2.7)
де і - символи Кристофеля першого і другого роду.
Надалі зауважимо, що в тензорному аналізі, який застосовується в теорії
оболонок, замість звичайних частинних похідних використовуються коваріантні
похідні. Ця операція має таку властивість, що при її застосуванні до тензора
будь-якого виду отримаємо знову тензор. Якщо, зокрема, , - компоненти вектора
(тензора першого рангу), то коваріантні похідні визначаються формулами
; . (2.8)
При цьому слід зазначити, що коваріантні похідні компонент метричного тензора
тотожньо дорівнюють нулю.
Рівняння рівноваги пружного тіла в інваріантній формі записуються таким чином
, (2.9)
де і - контраваріантні компоненти тензора напружень і масової сили. Для повноти
задачі до системи рівнянь (2.9) приєднуються рівняння стану, які зв’язують
компоненти тензора напружень і тензора деформацій . В рамках лінійної теорії
вважається, що деформації достатньо малі величини. Рівняння стану для
анізотропного тіла мають вигляд
, (2.10)
де - тензор модулів пружності; із енергетичних міркувань випливає [87], що
компоненти тензора пружності симетричні відносно індексів і , а також пар , .
Компоненти деформацій виражаються через компоненти вектора переміщень
формулами
. (2.11)
Співвідношення (2.10), (2.11) виражають в інваріантній формі узагальнений закон
Гука для анізотропного тіла. Припустимо, що на поверхні задана сила . Тоді
рівняння
; (2.12)
виконують роль граничних умов.
В теорії пружності і, зокрема, в теорії оболонок важливу роль відіграє принцип
віртуальних робіт Лагранжа. Для деформівного твердого тіла він записується
таким чином [217]
, (2.13)
де - віртуальний приріст переміщень , що узгоджуються з граничними умовами на
поверхні тіла.
Рівняння (2.13) виражає твердження, що віртуальна робота внутрішніх сил тіла,
що знаходиться в рівновазі, дорівнює роботі напружень на відповідних
віртуальних деформаціях. Виконуючи відповідні перетворення, із варіаційного
рівняння (2.13) випливає система рівнянь рівноваги (2.9) і граничні умови
(2.12).
Необхідно зауважити, що принцип віртуальних робіт (2.13) справедливий для
довільних визначальних рівнянь. Як зазначається в роботі [219] принцип
віртуальних робіт справедливий для довільних визначальних рівнянь
електропружності. Більш докладно розглядатимемо його в четвертому розділі
дисертації.
Розглянемо, використовуючи результати робіт І.Н.Векуа [110], І.Ю.Хоми [220],
геометрію простору в околі поверхні . Нехай оболонка займає область , де -
серединна поверхня, - половина товщини оболонки. Вважатимемо, що криволінійна
система координат нормально зв’язана з поверхнею . Це значить, що є гауссовими
координатами поверхні , а - змінюється вздовж нормалі до поверхні в межах
товщини оболонки, тобто . Тоді радіус-вектор довільної точки оболонки можна
представити у вигляді
, (2.14)
де - радіус-вектор поверхні , - орт нормалі до , що направлений бік випуклості
.
Згідно (2.14) вектори координатного базису і спряжені йому визначаються
формулами
; , (2.15)
де , і , - просторові тензори другого рангу,
- Київ+380960830922