ГЛАВА 2
МЕТОД ФУНКЦИЙ ПОДАТЛИВОСТИ ДЛЯ МНОГОСЛОЙНЫХ ОСНОВАНИЙ С ОДНОРОДНЫМИ И НЕОДНОРОДНЫМИ СЛОЯМИ. КРИТИЧЕСКИЕ СКОРОСТИ ДВИЖЕНИЯ НАГРУЗКИ
2.1. Функции податливости многослойного основания с однородными и неоднородными слоями
Для вычисления трансформант Фурье напряжений и перемещений в многослойном основании необходимо знать все функции . Эти функции, как уже упоминалось ранее, могут быть определены из условий:
- сопряжения смежных слоев (1.1);
- отсутствия перемещений на нижней границе основания (1.7) или (1.8);
- на верхней границе основания (1.12).
В настоящей главе излагается методика построения функций для многослойного основания с однородными и неоднородными слоями, основанная на идеях метода функций податливости [7, 36, 37, 46, 49, 51, 125].
Соотношения, которым должны удовлетворять функции , получим, применяя к соотношениям, выражающим условия совместного деформирования смежных слоев (1.1), интегральное преобразование Фурье:
(2.1)
Воспользуемся формулами (1.13), (1.16) и выразим в (2.1) трансформанты граничных значений напряжений и перемещений через величины . В результате приходим к соотношениям вида:
(2.2)
Таким образом, для того чтобы удовлетворить условиям совместного деформирования смежных слоев многослойного основания с однородными и неоднородными слоями, необходимо связать функции рекуррентными соотношениями (2.2).
Рассмотрим условия на нижней границе многослойного основания. Если полупространство является абсолютно жестким, то перемещения на его верхней границе должны обращаться в нуль:
(2.3)Если же полупространство является упругим, то
(2.4) Подставляя в какое-либо из условий (2.3) или (2.4) значение согласно (2.1), получаем линейное однородное уравнение относительно . Зафиксируем n=N и выразим через в соответствии с рекуррентными соотношениями (2.1), которые являются линейными и однородными относительно . Внесем полученные выражения в линейное однородное уравнение относительно . В результате приходим к линейному однородному уравнению относительно . Разрешим полученное уравнение относительно :
.(2.5)
Здесь матрица является функцией параметров интегрального преобразования Фурье , не зависят ни от одной из функций и, следовательно, не зависят от внешних воздействий на многослойное основание с однородными и неоднородными слоями. Матрицы однозначно определяются условиями сопряжения смежных слоев, а также геометрическими и механическими характеристиками этих слоев. Следовательно, для данного многослойного основания функции податливости могут быть определены до решения какой-либо граничной задачи и построены по следующим рекуррентным соотношениям, отправляясь от известных функций податливости полупространства [7, 46-51]:
(2.6) Функции податливости позволяют определить трансформанты перемещений и напряжений на верхней границе слоя по известным трансформантам напряжений на этой границе.
2.2. Алгоритм определения напряженно-деформированного состояния
Как показано выше, функции податливости многослойного основания с однородными и неоднородными слоями могут быть найдены до решения какой-либо граничной задачи по рекуррентным соотношениям (2.6).
В первой главе установлено, что напряженно-деформированное состояние n-го слоя однозначно определяется заданием двух векторных функций соотношениями (2.5). Удовлетворяем условиям совместного деформирования смежных слоев (1.1) и условиям на нижней границе слоя.
Согласно условиям на верхней границе основания в пространстве преобразований Фурье приходим к выражению для определения :
(2.7)Определим функции для слоев с номерами 2,3,...,N при помощи рекуррентных соотношений
Согласно (1.20) и (2.6) приходим к соотношениям, определяющим и , :
(2.8)
Следующим этапом является определение трансформант Фурье компонент напряженно-деформированного состояния трансформант перемещений и напряжений .
Принимая во внимание (1.13) и (1.16) приходим к выражению следующего вида:
.(2.9)
Заметим, что если n-й слой однородный, то модуль сдвига постоянен =const, а в том случае, когда n-й слой неоднородный, то модуль сдвига изменяется по глубине согласно заданному закону , .
Определение оригиналов напряжений и перемещений проводится по формуле обращения интегрального преобразования Фурье [55, 104, 108, 112]:
(2.10)
Описанный выше алгоритм решения граничных задач позволяет определить искомые поля напряжений и перемещений в многослойном основании с однородными и неоднородными слоями в виде интеграла Фурье.
2.3 Критическая скорость установившегося движения нагрузки по поверхности
Полученное выше решение (2.10) задачи об установившемся движении нагрузки по поверхности многослойного основания с однородными и неоднородными слоями имеет смысл только при условии сходимости интегралов в формуле (2.10).
Анализ подынтегральной функции показывает, что нарушение сходимости интегралов может быть вызвано только наличием у функции податливости особых точек, в окрестности которых они являются неограниченными. Из рекуррентного соотношения (2.6) для построения функций податливости основания, отправляясь от известных функций податливости полупространства, видно, что особые точки функции податливости многослойного основания с однородными и неоднородными слоями являются нулями функции вида:
(2.11)
Оказалось, что существует определенное значение определяющее наличие и характер нулей функции :
1) при функция Z положительна на полуоси , функции податливости не имеют особых точек (рис.2.1.а);
2) при функция Z имеет на полуоси нуль второго порядка, функции податливости имеют неинтегрируемые особенности (рис.2.1.б);
3) при функция Z имеет на полуоси нули первого порядка, функции податливости имеют интегрируемые особенности (рис.2.1.в).
Рис.2.1. Зависимость функции Z от параметра .