РАЗДЕЛ 2.
Волновые процессы при действии нестационарных
источников сейсмического типа
Интерес к задачам о действии внутреннего источника в упругом полупространстве
был вызван, с одной стороны, необходимостью создания методов контроля над
проведением ядерных испытаний, а с другой – постоянным совершенствованием
сейсмометрической аппаратуры, в связи с чем возникла необходимость более точной
интерпретации данных о процессах, происходящих в земной коре. Подобные задачи
для однородного полупространства, рассматривались в ряде работ [2, 57, 64, 95,
101, 108, 116, 118], тем не менее, анализ точного решения осесимметричной
задачи о действии внутреннего источника P - волн, в известной автору литературе
не проводился. Как правило, при решении подобных задач используются методы,
описанные в ранних отечественных работах [64, 95], где на основе метода
контурных интегралов исследуется приближения ближней и дальней зоны, в то время
как на западе широкое распространение получили точные и приближенные решения,
полученные применением метода Каньяра [2, 128].
Землетрясение или взрыв создают не непрерывный сигнал, а сигнал, который
возбуждается за ограниченный интервал времени. Лэмб [115] впервые опубликовал
решение для волн Релея, возбуждаемых импульсом. Рассматривая двумерные и
трехмерные задачи с линейным источником, он получил решения для этих
источников, расположенных на плоской свободной поверхности неограниченного
полупространства. Следующий важный вклад был сделан Накано [118], который
исследовал двумерную задачу с внутренним источником и показал, что фронты волн
P и SV, падающих на поверхность должны быть искривлены, чтобы возбуждалась
волна Релея. Лэпвуд [116], исследуя задачу о заглубленном источнике, показал
что поверхностная S - волна не имеет отчетливого начала и подтвердил
существование переходного решения для этого типа волн. Техника расчета
применяемая в работах Лэмба, Накано и Лэпвуда, позволила получить численные
результаты только для приближенных решений на больших расстояниях. Гарвин [108]
преодолел это ограничение в плоской задаче для линейного источника, использовав
преобразование Лапласа и получил численные решения, которые ясно показывают
постепенное развитие волны Релея и поверхностной S - волны. В работе Чепмена
[101] приводится аналитическое решение аналогичной плоской задачи о линейном
источнике Р - SV волн, полученное на основе применения метода Каньяра [2].
Целью данного раздела является отыскание и численный расчет точного решения
нестационарной осесимметрической задачи о внутреннем источнике, которое было бы
одинаково приемлемо для смещений ближней и дальней зоны, что позволило бы
получить полную картину переходных процессов распространения волн. Показана
возможность представления решения в виде суперпозиции объемных волн и
поверхностной волны Релея, которая выделяется в виде полувычета
подынтегрального выражения решения. Такое представление позволяет анализировать
вклад нестационарной волны Релея в общее решение, а также изменение ее
структуры по мере распространения по поверхности. Получены точные выражения,
характеризующие квазистатическое состояние (остаточные смещения) на поверхности
упругого полупространства.
2.1. Источник Р - волн.
Рассматривается осесимметричная задача о распространении волн в однородном
полупространстве со свободной границей, вызванных точечным источником
продольных волн.
Рис. 2.1. Схема к постановке задачи.
Пусть однородное изотропное упругое тело плотности со скоростями продольных
волн и поперечных занимает полупространство . В точке , цилиндрической системы
координат расположен точечный источник Р - волн. Упругие смещения можно
представить в виде:
,
с потенциалом Р - волн , удовлетворяющим уравнению:
(2.1)
и потенциалом поперечных SV - волн , удовлетворяющим уравнению:
, (2.2)
где - потенциал объемной силы , представимой в виде:
.
Точечный источник продольных волн на глубине в цилиндрической системе
координат можно представить в виде действия потенциала:
, (2.3)
где - константа, характеризующая мощность источника и имеющая размерность силы
на масштаб длины, - временная зависимость источника.
Применяя к (2.1) интегральное преобразование Бесселя-Лапласа в виде [2]:
(прямое) (обратное),
где - модифицированная функция Бесселя нулевого порядка, - функция Макдональда
нулевого порядка, можно получить изображение решения для падающей волны (здесь
и далее оригиналы и трансформанты обозначаются одной и той же буквой, а
различаются в зависимости от аргументов):
, . (2.4)
Переход к комплексному лучевому параметру осуществляется заменой [2] (при этом
предполагается, что - вещественная положительная величина, а рассматривается
как формальная переменная интегрирования) тогда преобразование Лапласа от (2.4)
примет вид:
. (2.5)
Следует отметить, что выражение (2.5) представляет собой интеграл Зоммерфельда
с ядром в виде функции Макдональда и представляет собой суперпозицию
цилиндрических волн. Такое представление позволяет использовать коэффициенты
отражения из теории плоских волн с их надлежащей нормировкой.
Известно [2], что источник вида (2.3) при наличие свободной границы генерирует
отраженные продольную и поперечную волны, поэтому преобразование Лапласа
решения для суммарных потенциалов можно искать в виде:
, (2.6)
где , , и - коэффициенты отражения.
Условия излучения на бесконечности удовлетворяются в силу выполнения условий ,
на комплексной плоскости.
Выражения для смещений и напряжений в этом случае имеют вид:
(2.7)
так что напряжениями на свободной пове