РОЗДІЛ 2
МОДЕЛЮВАННЯ НАПРУЖЕНО-ДЕФОРМОВАНОГО СТАНУ В МІКРООБ'ЄМАХ ПОРИСТИХ СТРУКТУР В НАБЛИЖЕННІ ФРАКТАЛІВ СЕРПИНСЬКОГО
При створенні нових матеріалів для забезпечення потреб машинобудування, будівельної індустрії, мікробіології, медицини тощо з комплексом нових властивостей до традиційних вимог міцності, тріщиностійкості, довговічності, стійкості проти зношування і корозії додається низка нових вимог, і перш за все - це формування пористості заданої структури.
Роботи останніх 20-25 років показують, що ці задачі можуть бути успішно вирішені в межах підходів перколяційних і перколяційно-фрактальних середовищ.
З нашої точки зору, однією із серйозних завад на шляху створення пористих матеріалів з регулярною системою пор є недостатня кількість робіт, присвячених моделюванню мікро напруженого і мікродеформрваного стану.
2.1. Допущення моделі:
* на макрорівні перколяційно-фрактальну кераміку представляємо пружним квазі-ізотропним контініумом, що описується законом Гука;
* локальні об'єми будемо вважати пружними тілами Серпинського класу [111] різного рівня фрактальності;
* усереднене значення рівня фрактальності визначаємо із умови усередненої пористості та усереднених пружних характеристик;
* на межі між сусідніми локальними об'ємами має місце ідеальне з'єднання та відсутня концентрація напруг і деформацій.
2.2. Класифікація тіл Серпинського та самоподібність в закономірностях жорсткості та пружності фрактальних та фрактально-перколящйних систем
При моделюванні властивостей пористих матеріалів: керамік, ультрадисперснин, пористих та аморфних матеріалів спробуємо скористатись уявленнями структур з дробною (нецілою) метрикою. Це дає можливість описати багато властивостей надлегких матеріалів. На наш погляд, саме використання фрактальних та квазіфрактальних структур в сучасних конструкціях (ТРГ, збурені бетони, кераміки, конструкційні матеріали з періодичними та квазіперіодичними пустотами, перколяційні дво- та багатокомпонентні суміші, метали на стадії передруйнування і т.д.) вимагає розвитку аналітичного та комп'ютерного моделювання характеристик жорсткості, пружності та міцності таких структур.
Фракталом будемо називати структуру з дробовою розмірністю простору такою, що об'єм даної структури в просторі :
- метричні простори з цілою розмірністю.
Тоді для квазіфрактала , де С - деяка константа.
Найчастіше із ідеальних фрактальних структур використовується множина Кантора та його дво- (килим Серпинського) та тривимірна модифікація (рис.2.2).
Для всіх фракталів сімейства рис.2.2, якщо характерний розмір початкової (затравочної) множини дорівнює L (нульовий рівень фрактальності), то на першому рівні фрактальності тіло, що відкидається, має характерний розмір
(2.1)
Коли в (2.1) виконується рівняння, то маємо фрактал, коли нерівність - квазіфрактал. Хай найбільша із пустот в фракталі має розмір , найменша - і при цьому виконується умова самоподібності, , то
(2.2)
звідки рівень фрактальності можна знайти із співвідношення
(2.3)
Для розрахунків жорсткості та пружності розглянемо фрактал Серпинського як багатоступеневий стержень (рис.2.1). Як видно із рис.2.1, еквівалентний багатоступеневий стержень має праву границю фрактальну. При цьому затравочний фрактал у вигляді прямокутного імпульса (j=1) перетворюється не за класичними законами самоподібного росту фракталів, а має свої специфічні відмінності:
* нові елементи утворюються тільки на вертикальних відрізках затравочного фрактала;
* глибина новоутворень залежить від рівня фрактальності;
* в напрямку вертикальної осі
В цілому кінетика розвитку еквівалентного стержня, як функція рівня фрактальності (рис.2.1), схожа на розвиток окупаційної перколяції .
Дослідимо детальніше її кінетику.
Рис.2.1. Заміна килима Серпинського ступінчастим стержнем
Рис.2.2. Одно- дво- та трьохмірні множини Серпинського
Рис.2.3. Класи тіл Серпинського: а) [100] [010] [001];
б) [110] [011] [101];
в) [111] Прослідкуємо за розподіленням довжин у по площах еквівалентного стержня, що буде потрібно при оцінці характеристик жорсткості та пружності.
Нульовий рівень фрактальності ( j = 0):
Перший рівень фрактальності (j = 1):
Другий рівень фрактальності (j = 2):
Третій рівень фрактальності (j = 3)
Це дозволяє сформулювати загальні принципи утворення залежності еквівалентного багатоступеневого стержня від рівня фрактальності j:
1) площі ступенів складають геометричну прогресію зі знаменником 2/3;
2) довжина може бути визначена по рекурентних співвідношеннях:
(2.4)
Отримані значення та заміни фрактала Серпинського еквівалентним багатоступеневим стержнем дозволяють записати співвідношення для визначення площі (об'єму) та деформації еквівалентного стержня після j-го рівня фрактальності:
(2.5)
Співідношення (2.5) з урахуванням (2.4) дозволяє в загальному вигляді отримати залежності площі та пружної деформації еквівалентного ступінчатого стержня (рис.2.2), як функції рівня фрактальності j:
(2.6)
(2.7)
Із (2.2) слідує співвідношення для приведеного модуля пружності:
(2.8)
Підставимо в (2.6) , де S' - площа пустот (в загальному випадку - доля примісної компоненти). Тоді:
(2.9)
де - питома доля примісної компоненти (пустот),
(2.9) в повній мірі відповідає співвідношенням для критичних явищ, що досить добре вивчені в перколяційних моделях, в тому числі - і при дослідженні пружних властивостей .
В повній відповідності з випадком R2 отримані співвідношення (2.6) - (2.9) для простору R3 (рис.2.3). Для всіх цих випадків отримано:
(2.10)
Зобразимо значення у вигляді матриці:
(2.11)
На