РОЗДІЛ 2
Локально обмежене оптимальне керування для сингулярно збуреної параболічної
періодичної задачі
У роботі [52] отримана асимптотика довільного порядку точності оптимального
глобального обмеженого розділеного керування для параболічної періодичної
крайової задачі [21]. При цьому знайдені умови асимптотичної декомпозиції
керування, тобто коли останнє належить або внутрішності деякої кулі у
функціональному просторі, або на границі. У випадку локальних обмежень на
керування для параболічної неперіодичної сингулярно збуреної задачі повний
асимптотичний розв’язок отриманий в роботі [51], а для еліптичних сингулярно
збурених оптимальних задач аналогічні результати отримані в [49,50].
В даному розділі запропонований новий алгоритм побудови ітераційних задач. Він
характеризується тим, що проміжні задачі залежать параметрично від параметра ,
а їх розв’язки – неперервні функції. Побудовані і обгрунтовані асимптотики для
такого класу задач. Відмінною особливістю розглянутих задач є парність точок
сходу керування з обмежень.
2.1. Постановка задачі. Умови оптимальності
Нехай в області керований процес описується функцією , яка задовольняє крайовій
задачі [86]
, (2.1)
, (2.2)
, (2.3)
де , ,
; (1.4)
тут - додатна майже скрізь функція.
Згідно [67], при фіксованих крайова задача (2.1)–(2.3) має єдиний розв’язок ,
де - функції з із крайовими умовами (2.2)–(2.3).
Потрібно знайти керування , що доставляє найменше значення функціоналу
, (2.5)
де .
Зауваження 2.1. Сингулярно-збурена крайова задача (2.1)–(2.3) називається
критичною при . При цьому її вироджене рівняння (при ) має сім’ю розв’язків
[21].
При фіксованому задача (2.1)–(2.5) має єдиний розв’язок , який задовольняє
необхідним і достатнім умовам оптимальності [72]
, (2.6)
де - розв’язок крайової задачі
, (2.7)
, (2.8)
, (2.9)
причому.
Наведені умови оптимальності еквівалентні наступним поточковим умовам:
; (2.10)
(2.11)
(2.12)
де - розв’язок задачі (2.7)–(2.9), (.,.) - скалярний добуток в , .
2.2. Гранична задача
З’ясуємо поведінку розв’язку задачі (2.1)–(2.5) при . Має місце
Теорема 1.1 Нехай в задачі (2.1)–(2.5):, , , ; - додатна майже усюди функція; .
Тоді мають місце граничні рівності:
сильно в , слабо в ;
сильно в ;
, (2.13)
де - розв’язок крайової задачі
, (2.14)
. (2.15)
Доведення. При фіксованому керуванні розв’язок задачі (2.1)–(2.3) задовольняє
інтегральній тотожності
, (2.16)
причому , ця тотожність виконується і для більш широкого простору „пробних”
функцій , в яке щільно вкладено простір .
Поклавши в (2.16) , отримаємо нерівність
. (2.17)
Покладемо в (2.16) , де . Тоді отримаємо тотожність, яка буде еквівалентна в
силу періодичності по наступній тотожності
, (2.18)
Поклавши знову в (2.16) , отримаємо рівність
. (2.19)
Інтегруючи по (2.19) і врахувавши нерівність (2.17), отримаємо оцінку
. (2.20)
Із рівняння (2.1) і нерівностей (2.17), (2.20) витікає оцінка
. (2.21)
Із (2.4), (2.17), (2.20), (2.21) випливає, що слабо в , слабо в , а
послідовності - обмежені в . Цього достатньо для переходу до границі в (2.16)
при . Дійсно, з одного боку, при цьому вказана тотожність набуває вигляду
,(2.22)
причому, виконується і для так як щільно вкладено в .
З іншого боку, здійснимо граничний перехід в (2.18). Для цього від тотожності
(2.18) перейдемо до нерівності
. (2.23)
Перейшовши до границі в (2.23), будемо мати
, (2.24)
де .
В (2.24) врахована гранична нерівність для слабо збіжних послідовностей в
рефлексивних бананових просторах [30-31, 62, 99]
(2.25)
Нерівність (2.24) еквівалентна нерівності
, (2.26)
Віднявши (2.26) із (2.22) при , отримаємо нерівність
Звідси в силу довільного випливає, що .
Покажемо, що сильно в . Для цього розглянемо величину
Врахувавши тотожність (2.18), для отримаємо наступне представлення
. (2.27)
Потім, вирахувавши (2.24) із (2.27) отримаємо
, , (2.28)
причому, нерівність (2.28) має місце і для функцій із .
Так як
то . Але
Відповідно, сильно в , сильно в .
Із того, що сильно в , отримаємо
Так як , то можемо записати
, (2.29)
де - єдиний розв’язок задачі оптимального керування [36, 72] для функціоналу
визначеного на розв’язках крайової задачі (2.14)–(2.15).
З іншого боку, слабо в . Тоді, відповідно нерівності (2.25), записаної для ,
отримаємо
. (2.30)
Із (2.29)–(2.30) випливає, що .
Покажемо, що сильно в . Для цього розглянемо величину
Представимо її таким чином
Тоді
що і завершує доведення теореми.?
Поточкові умови оптимальності (2.10)–(2.12) для граничної задачі набувають
вигляду:
; (2.31)
(2.32)
, (2.33)
де - розв’язок задачі
, (2.34)
Для спрощення подальшого аналізу введемо
Припущення 2.1 Нехай .
Покладемо
.
- Київ+380960830922