раздел 2.2).
3. Распределение уровней y1,…ym считается равномерным в диапазоне изменений Ay
параметра контроля Y.
4. Объемы обучающих выборок по всем уровням параметра Y одинаковы и равны
n = N/m, где N – общее число образцов, используемых для обучения линейной
модели дискриминации.
Исходными данными для разработки алгоритма принятия решения
будем считать следующие:
а) совокупность возможных классов (состояний) объекта контроля представляет
полную группу случайных событий с одинаковыми априорными вероятностями этих
состояний;
б) условные распределения показателей известны с точностью до значений
параметров , в диапазонах Ai изменения этих показателей;
в) критерий качества выбора решения из множества возможных решений – критерий
максимума правдоподобия [110] выборки измеренных в ходе контроля значений
показателей ;
г) функция потерь [110] – неизвестна.
Исходя из начальных условий можно представить функцию правдоподобия выборки x=
в виде
. (3.32)
Поскольку максимум , при фиксированном р, определяется минимумом показателя
экспоненты, то удобно, в дальнейшем, выбирать решение , исходя из условия
Структурная схема представлена на рисунке 3.5.
Обозначим i-тое слагаемое под знаком суммы в выражении (3.32) как . Так как в
качестве параметров используют их оценки по выборкам объема n, то случайная
величина x, при условии Y, имеет центральное t-распределение Стьюдента
Случайная величина имеет тогда центральное F-распределение с одной и (n – 1)
степенями свободы
Если же минимум функции соответствует условию , то случайная величина имеет
нецентральное F-распределение с одной и (n – 1) степенями свободы и параметром
нецентральности [131]
, (3.33)
для всех .
Таким образом, минимальная из m статистик (3.32) является суммой случайных
величин либо с центральным (), либо с нецентральным распределениями плотности
вероятности. Для выбора модели закона распределения статистики (3.32)
воспользуемся выводами литературы [140] о законе распределения порядковых
статистик, из которых следует, что закон распределения минимальной из m
независимых случайных величин стремится к показательному закону (при ) с
параметром
. (3.34)
Нижней границей параметра l является значение
, (3.35)
как величина, обратная сумме m математических ожиданий статистик .
Обозначим минимальную статистику (3.32) как случайную величину
Тогда вероятность правильной классификации уровня yj является вероятностью
. (3.36)
Вероятность ошибки определения уровня yj равна
. (3.37)
Вероятность P2 с учетом (3.35) (для n = N/m) и при показательном законе
распределения статистики [141],
, (3.38)
определяется выражением
, (3.39)
в котором нижний предел интегрирования для равен
Рис. 3.5 – Структурная схема классификационного измерительного преобразования
Верхний же предел .
Определим теперь математическое ожидание симметричной зоны допуска для
контролируемого уровня yj. Рассмотрим случайное отклонение результата
оценивания данного уровня при двух условиях:
а) , тогда ;
б) , тогда .
Из условия а) следует, что среднее значение отклонения равно
. (3.40)
Из условия б) найдем среднее значение для всех
. (3.41)
С учетом вероятностей и выражений (3.40) и (3.41) имеем
. (3.42)
Так как , то используя (3.39) получим
. (3.43)
Из выражения (3.43) следует, что
причем границы этого интервала соответствуют двум предельным условиям:
1) , если (дискриминирующая способность показателей Xi соответствует 100 %-ной
достоверности контроля;
2) , если (достоверность контроля по любому из р показателей равна нулю).
Следует отметить, что каждому из уровней соответствует середина соответствующей
симметричной зоны допуска.
Из (3.43) следует, что является функцией:
Общего числа образцов N.
Числа контролируемых уровней m.
Числа показателей контроля р.
Разрешающих способностей () используемых для дискриминации показателей контроля
.
Если количество образцов, воспроизводящих m уровней параметра контроля Y –
разное, то выражение (3.35) будет иметь вид
, (3.44)
где nj – объем обучающей выборки (число образцов) для уровня yj.
С учетом (3.44) выражение (3.43) примет вид
. (3.45)
В таблице 3.3 для сравнения представлены значения при фиксированных m, N,
рассчитанных по уравнению (3.43) для р = 4.
На рисунках 3.6–3.11 представлены графически зависимости от числа образцов N и
количества различаемых уровней m.
Из рисунков видно, что средняя ширина зоны допуска для каждого из m
контролируемых уровней параметра Y:
а) имеет минимальное значение для одной из величин ;
б) уменьшается с ростом N.
Кроме того оптимальное число уровней параметра контроля растет с увеличение
числа образцов N.
Как видно из таблицы 3.3 величина уменьшается с ростом числа р показателей
контроля.
Таблица 3.3
Значения математического ожидания
при различных m, N, (значения Ay =23), i=
N=30
N=120
10
20
10
20
12,2896035
11,5002556
11,5
12,0617374
11,5000655
11,5
12,8725125
7,8703969
7,66666714
11,7723217
7,7454837
7,66666668
15,7937119
7,732484
5,75300934
14,0848161
6,69019252
5,75015223
18,2310553
10,1419735
4,75142735
16,2560916
7,56318205
4,61237599
19,9452884
13,4042426
5,02505004
17,8816158
9,36496374
3,96630921
21,1271036
16,5099791
7,27727748
19,0515777
11,3492943
3,83749746
21,9560516
19,1380334
11,4571983
19,8977742
13,1768137
4,25680608
22,5542166
21,2743442
16,9231817
20,5203723
14,7444754
5,13861823
10
23
23
23
10
20,9876144
16,0500545
6,33001486
N=60
N=150
10
20
10
20
12,126795
11,
- Київ+380960830922