РОЗДІЛ 2
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ЗАДАЧІ ДОСЛІДЖЕННЯ ПРИ ТОЧНИХ ВИХІДНИХ ДАНИХ
У розділі приводиться загальна постановка задачі розподілу ресурсів проекту. Розглядаються основи теорії оптимізаційного геометричного проектування та постановка задачі розміщення геометричних об'єктів. Побудована і досліджена ідеалізована задача розміщення об'єктів у смузі як основа для моделювання задачі розподілу ресурсів. Запропонована модифікація дерева розв'язків задачі та методу гілок та меж, які враховують можливість розриву об'єктів. Побудована і досліджена оптимізаційна задача розподілу ресурсів проекту при точних вихідних даних. Запропонована модифікація дерева розв'язків і методу гілок та меж для розв'язання задачі.
2.1. Загальна постановка задачі розподілу ресурсів проекту
Розглядається інвестиційно-будівельний проект, що складається з кінцевої множини робіт , упорядкованих за специфікою послідовності їх виконання. Для кожної роботи в окремому випадку розглядаються два види ресурсів, що відновлюються,: відомий час, що відведено на її виконання , та інші ресурси, які вона використовує, -інші ресурси роботи, . В залежності від достовірності і повноти інформації ці відомості про роботу є точними або неточними, тобто заданими з похибкою. Також існують певний ліміт часу , відведений на виконання проекту, та суттєве обмеження на ресурси, які використовують роботи. Необхідно, враховуючи ці умови, визначити тривалість критичного шляху робіт проекту ; розділити роботи на критичні та некритичні; обчислити резерви часу некритичних робіт та здійснити вирівнювання ресурсів , враховуючи обмеження на їх споживання.
Згідно [17] одним із напрямів досліджень в управлінні проектами є управління ресурсами, часом та вартістю проекту, отже така задача є прямим витоком з основних задач УП.
Для математичного моделювання задачі запропоновано застосувати апарат теорії оптимізаційного геометричного проектування, основні положення якої буде викладено нижче.
Роботи проекту можна представити у вигляді прямокутників (два ресурси), паралелепіпедів (три ресурси) або гіперпаралелепіпедів ( ресурсів), простір ресурсів, які вони використовують, - як напівнескінчену гіперсмугу, де вони розміщуються, відповідно в , або ( де - загальна кількість робіт), а умови часткової упорядкованості робіт та умову неможливості одночасного використання одного ресурсу двома роботами - як умови розміщення та попарного неперетину прямокутників (паралелепіпедів або гіперпаралелепіпедів). Таким чином, задачу можна змоделювати як задачу розміщення (ідеалізовану).
Враховуючи додаткові обмеження резервів часу некритичних робіт, можливість розриву некритичних робіт у часі та подальшу оптимізацію ресурсу, ідеалізовану задачу можна перетворити на оптимізаційну задачу розподілу ресурсів проекту при точних вихідних даних. Одночасно, апріорі врахувавши умову задавання ресурсів робіт з похибкою і всі перелічені обмеження, можна перетворити ідеалізовану задачу на оптимізаційну задачу розподілу ресурсів проекту при похибках вихідних даних.
Для подальшого моделювання задачі обрано двовимірну постановку, тобто наявність у роботи лише двох ресурсів, що відновлюються, наприклад, часу та коштів для її виконання.
2.2. Задача розміщення геометричних об'єктів в рамках теорії оптимізаційного геометричного проектування
Математичні моделі та оптимізаційні методи розв'язання задач управління проектами на стадії розподілу ресурсів можна розробити у рамках теорії оптимізаційного геометричного проектування. Теорія дозволяє представляти деякі властивості об'єктів як геометричні характеристики; умови часткової упорядкованості робіт представляти як умови розміщення об'єктів; задавати тривалості кожної окремої роботи як довжини об'єкта; враховувати інтервали часу між виконанням робіт як відстані між об'єктами (які можуть змінюватися); допускає багато варіантів технологічного виконання робіт та видає кращій варіант при досягненні глобального мінімуму цільової функції.
2.2.1. Поняття геометричної інформації. Основна задача геометричного проектування
Для побудови математичних моделей, адекватних матеріальним об'єктам, які вони описують, перш за все необхідно визначити, у якому просторі їх розглядати. Зрозуміло, що мова повинна йти про точкові множини у лінійному метричному просторі. Поряд з цим будь-який матеріальний об'єкт як геометричне тіло у будь-якому просторі повинен бути представленим сукупністю точок, взаємне положення яких визначало б його як креслення натуральної модулі або у іншому зображенні. Всіма цими властивостями наділений арифметичний евклідовий простір .
Ведемо поняття - об'єкта як точкової множини простору . Непуста множина називається - об'єктом , якщо
* - канонічно замкнута або канонічно відкрита множина [100];
* внутрішність та замикання множини мають один і той же гомотопічний тип [100].
-об'єкти як точкові множини можуть перетинатися, торкатися та знаходитись на відстані один від одного, тобто не перетинатися.
Будь-який -об'єкта має просторову форму, задані метричні характеристики та займає якесь положення у відповідному просторі . Наведені характеристики задають так звану геометричну інформацію [95] про -об'єкт.
Поняття геометричної інформації про -об'єкт включає:
* сукупність просторових форм ;
* метричні характеристики , що визначають "розміри" точкових множин, що мають форму з ;
* параметри , що задають місцезнаходження точкових множин у відповідному просторі, тобто параметри розміщення .
Геометрична інформація має наступний вигляд
.
Просторові форми представляють собою множини, елементами яких виступають класи еквівалентності на сукупності будь-яких точкових множин у відповідних лінійних метричних просторах. Як приклад, робота проекту, що має у наявності два ресурси - це прямокутник, три - паралелепіпед, тощо.
Для розрізняння множин, які мають однакову просторову