РАЗДЕЛ 2
ВЕРОЯТНОСТНАЯ МОДЕЛЬ ПРОЧНОСТИ СТРУКТУРНО
НЕОДНОРОДНОГО МАССИВА
2.1. Феноменологический подход к определению прочности горных пород
Общим свойством практически всех конструкционных материалов является их твердость, что в данном случае следует понимать, как способность сохранять исходные размеры и целостность при небольших относительных деформациях. Горные породы, если их рассматривать как материал, среду, в которой проходится выработка, также в подавляющем своем большинстве могут быть отнесены к твердым телам. На феноменологическом уровне полагается, что разрушение твердого тела произойдет в том случае, если компоненты тензора напряжений в локальной точке исследуемой области достигнут определенных предельных значений. Изучение предельных состояний и прочности горных пород является основой механики горных пород. А.Д.Алексеев и Н.В.Недодаев ?7? отмечают, что хотя различные нарушения в материале могут определяться временем, температурой, скоростью деформирования и другими параметрами, принято считать, что критерием разрушения является предельное напряженное или деформированное состояние породы или их комбинация.
За последние годы критериям пластичности и разрушения материалов посвящено много работ, в которых описаны общие принципы их построения ?49-51?. Математическое моделирование механических процессов, развивающихся вокруг горных выработок, тем ближе соответствует действительности, чем лучше принятая теория прочности отражает природу и характер разрушения породной среды. В связи с этим возникает вопрос, правомочно ли использование так называемых феноменологических теорий прочности, полученных на основе экспериментальных данных, рассматривающих внешние прочностные свойства как факт (феномен), и не раскрывающие физическую картину разрушения.
Основным положением для всех математических методов механики твердого тела является возможность выделения в рассматриваемом теле бесконечно малых объемов, обладающих всеми свойствами материала, образующего тело. Достаточная малость этого объема, эквивалентная понятию "бесконечно малая величина", устанавливается по отношению к характерным размерам исследуемого тела. Иными словами, элементарный объем должен быть достаточно большим, чтобы сохранять все характерные свойства материала рассматриваемого тела, и одновременно достаточно малым по сравнению с его размерами.
Характерной особенностью всех горных пород является их зернистое или кристаллическое строение. В породах зернистого строения промежутки между зернами заполнены, как правило, цементом. В целом горная порода может быть представлена как минеральный агрегат, включающий структурные элементы с различными свойствами. Пусть характерным для данной породы является соотношение между структурными элементами:
где , n2 , nк - относительное содержание в породе вещества со свойствами а1, а2 и ак. соответственно. (Здесь k - число структурных составляющих породы-агрегата).
Очевидно, существует такой наименьший объем данного агрегата, для которого сохраняется приведенное соотношение. При этом в пределах элементарного объема величины являются случайными, то есть принимают свои значения с определенными вероятностями, достаточно высокими, чтобы общее распределение свойств агрегата сохраняло указанную выше закономерность. Поэтому К.В.Руппенейт и Ю.М.Либерман в работе [48] к вопросу установления величины элементарного объема подходят с позиций теории вероятностей. Задача ставится так: определить элементарный объем породы, для которого соотношение между количеством зерен составляющих веществ а1, а2,...ак сохранялось бы равным .
Рассматривая события Аj = {содержание вещества а j в горной породе равно nj} (j=1, k) как независимые, данную задачу в вероятностной постановке можно свести к схеме урн. Будем рассматривать некоторый объем породы как резервуар (урну), содержащий структурные элементы - зерна (условные шары) в заданном отношении, т. е. n1 шаров (зерен) белого цвета (вещества a1); n2 шаров (зерен) черного цвета (вещества a2); nк шаров (зерен) иного цвета (вещества aк).
Вероятность того, что в единичном испытании из урны извлечен шар (зерно) определенного цвета (вещества aj , j =1, k ) равна:
.
Вероятность противоположного события ={НЕ извлечено зерно (шар) вещества aj} равна: . Вероятность того, что в m испытаниях, то есть среди m зерен, обнаружится шар (зерно) определенного цвета (свойства aj) от до раз, можно определить в соответствии с интегральной теоремой Лапласа [52] по формуле:
,
где - функция Лапласа, табулированная в [52].
Вероятность того, что виспытаниях одновременно появятся события , ... равна произведению вероятностей этих независимых событий:
.
Вероятность произведения событий тем меньше, чем больше число сомножителей, то есть данная вероятность тем меньше, чем большее число структурных элементов образуют агрегат. Чтобы увеличить вероятность произведения нужно увеличить вероятности сомножителей, а последние тем больше, чем большее число испытаний m произведено, то есть чем большее число зерен условно извлечено из общего объема. Число зерен m связано с элементарным объемом соотношением: , где R - средний радиус зерен.
Таким образом, чем большее число компонентов содержится в горной породе, тем большим должен быть элементарный объем, в котором с практической достоверностью сохранится соотношение между компонентами, характерное для данной породы. В [48] показано, что с вероятностью 0,98 свойства песчаника, например, сохраняются в объеме, равном 0,025 см3 и содержащем 64 зерна кварца. Грань элементарного куба l0 с таким объемом составит 0,29 мм.
В таблице 2.1. приведена классификация осадочных пород по крупности зерна, предложенная ИГН АН СССР.
Таблица 2.1.
Наименование породыСредний диаметр зерна, смРазмер элементарной
площадки, смКонгломерат1,06,7Гравелит0,10-1,00,67-6,7Песчаник крупнозернистый0,050-0,100,33-0,67Песчаник среднезернистый0,025-0,0500,17-0,33Песчаник
- Київ+380960830922