РАЗДЕЛ 2
ЧАСТОТЫ ОБРАЗОВАНИЯ И РАСПАДА ФОНОНОВ С БОЛЬШОЙ ЭНЕРГИЕЙ В АНИЗОТРОПНЫХ
ФОНОННЫХ СИСТЕМАХ СВЕРХТЕКУЧЕГО ГЕЛИЯ
2.1. Частота образования h–фонона системой l-фононов
Рассмотрение четырехфононных процессов взаимодействия фононов с различными
энергиями начнем с процесса рождения фонона с большой энергией (h -фонона)
фононами с низкой энергией (l-фононами):
. (2.1)
Такой процесс описывает ситуацию, в которой холодная фононная система с
характерной энергией порядка 1 K образует за счет четырехфононных процессов
фонон с большой энергией порядка 10 K. Такие процессы образования фононов будут
в дальнейшем называться “процессы образования первого типа”, что будет
соответствовать следующему соотношению между импульсами фононов:
. (2.2)
Здесь мы принимаем во внимание, что равновесие в подсистеме l-фононов наступает
практически мгновенно во временных масштабах характерных для рассматриваемой
задачи. Такое быстрое установление равновесия определяется очень быстрыми
трехфононными процессами, которые, как показано в разделе 1 определяются первым
порядком теории возмущений. Это позволяет в интеграле (1.52) предположить, что
функции являются равновесными функциями распределения Бозе-Эйнштейна (1.51).
Для процесса (2.1), используя (2.2), получаем следующие пределы интегрирования
в уравнении (1.62):
; ; ; . (2.3)
Чтобы определить характерные значения угловых переменных учтем, что в процессе
(2.1) величина имеет положительное значение, а между импульсами имеет место
неравенство (такие процессы в дальнейшем будем называть процессами типа
“левый”, так как лежит левее ). Исходя из этого, для величин получаем:
, (2.4)
Это позволяет, при малых , предположить, что характерные значения переменных
для процесса (2.1) равны нулю, то есть
. (2.5)
Отсюда получаем следующее значение для величины :
. (2.6)
Характерное значение находится из аргумента дельта- функции в (1.59):
. (2.7)
Далее подставляем в (1.67) и получаем
. (2.8)
Окончательно из (2.8), (1.66) и (1.62) получаем общее уравнение для всех
процессов образования фононов типа “левый”, когда :
. (2.21)
Для процессов (2.1), которые в дальнейшем будем называть процессы типа 1,
результат (2.9) с учетом (2.3) является решением задачи по вычислению частоты
образования -фонона системой -фононов. Этот интеграл может быть вычислен на
компьютере с использованием аналитической аппроксимации для (1.2), (1.3) и
описывает импульсную, температурную и угловую зависимость частоты , которые
показаны на рис. 2.1 а), б) и в), соответственно.
Для того, чтобы описать и объяснить наблюдаемые зависимости частоты от
параметров системы, а также для того, чтобы использовать частоту в дальнейшем,
при решении кинетических задач, необходимо получить аналитическую формулу для
частоты . Чтобы вычислить исходя из (2.9) заметим, что присутствие -функции при
приводит к тому, что близко к своему верхнему пределу . Далее, если близко к ,
разница - относительна мала. Разложение функции в ряд по малому параметру дает
. (2.10)
Здесь
, (2.11)
где и мы ограничиваемся только первым членом разложения.Из аргумента - функции
в (2.9) и с учетом (2.10), а также принимая во внимание близость к получаем
следующее неравенство:
. (2.12)
Это неравенство определяет нижний предел в интеграле (2.9) по переменной .
Кроме того, используя близость к подставляем вместо в (2.21) и получаем
(2.13)
Здесь было использовано равенство , которое справедливо, так как для
характерных значений импульсов.
В медленно меняющейся функции в (2.13) переменная заменяется своим характерным
значением , которое лежит в области от 4 до 6 К и оставшийся интеграл
переписывается в следующем виде:
. (2.14)
Окончательно получаем следующий результат
, (2.15)
где .
Сравнение этого результата с компьютерным расчетом при дает , которое близко к
характерному значению в (2.13). Зависимости от импульса фонона, температуры и
угловой величины пучка представлены сплошными линиями на рис.2.1 а), б), и в),
соответственно, и согласуются с результатами численных вычислений.
Необходимо отметить, что результат (2.15) справедлив, когда
. (2.16)
Это неравенство показывает, что импульс должен быть очень близок к , и это
демонстрирует рис.2.1 а). В случае, когда далеко от необходимо применять другой
подход.
Вместо параметра , который не мал, когда находится далеко от , рассмотрим
разложение по другому малому параметру
. (2.17)
Тогда неравенство
, (2.18)
которое следует из -функции в (2.9) может быть решено относительно путем
разложения в ряд по малому параметру до членов второго порядка малости. В
результате получаем:
. (2.19)
Здесь максимальное значение импульса дается соотношением
, (2.20)
(2.21)
- функция дисперсии. Функция определяется как
, (2.22)
где
и .
Затем проводится интегрирование по , использующее малость величины (2.17), в
результате которого получаем
. (2.23)
Здесь
. (2.24)
- безразмерная функция, которая не имеет нулей и полюсов в области . Это
позволяет заменить в ее характерным значением , которое может быть оценено из
(2.23) и оказывается равным . Окончательно получаем
. (2.25)
Сравнение этого результата с компьютерными вычислениями при дают , что близко
характерному значению .
Импульсная зависимость (2.25) показана на рис.2.1 а) и хорошо согласуется с
результатами численных расчетов во всей рассматриваемой области импульсов.
Аналитическое выражение (2.25) позволяет исследовать в явном виде зависимости
от параметров и T пучка. Так уменьшение с ростом импульса, вызвано импульсной
за
- Київ+380960830922