Раздел 2.
Определение собственных частот и собственных форм колебаний машиностроительных
конструкций.
2.1. Вариационная постановка задачи о собственных колебаниях упругих систем.
Одной из важнейших задач при расчете колебаний упругих систем является
определение собственных частот и соответствующих им собственных форм колебаний.
Аналитическое решение данной задачи возможно лишь для ограниченного круга
задач. Поэтому возникает необходимость численного определения частот и
собственных форм колебаний, при этом приходится ограничивать число
разыскиваемых собственных частот и соответствующих им форм колебаний. На
практике, как правило, при расчете конструкции или ее элементов, подверженных
действию вибрационных нагрузок необходимо знать до 20 первых собственных частот
и соответствующих им собственных форм колебаний. В целом проблема их отыскания
при решении задач о вынужденных колебаниях реальных механических систем весьма
трудоемка и требует больших временных затрат даже при наличии современных ЭВМ.
Поэтому задача создания и развития алгоритмов определения собственных частот и
соответствующих им собственных форм колебаний упругих систем является
актуальной.
Машиностроительные конструкции и их конструктивные элементы являются сплошными
телами.
Из вариационного принципа для нелинейных свободных колебаний следует, что если
характеристики движения изменяются периодически c частотой щ, то существует
функционал :
, (2.1.1)
точки стационарности которого соответствуют действительным движениям тела, при
заданных граничных условиях (например на ).
Если в качестве промежутка времени взять один период , то функционал примет
вид:
, (2.1.2)
при условии .
Если сделать замену , то получим . (2.1.3)
Если лагранжиан равен L=K – U, где K0 – кинетическая энергия , U0 –
потенциальная энергия и K – однородная функция второй степени по , т.е. для
любого щ > 0
. (2.1.4)
Причем K и U строго выпуклы по совокупности своих аргументов и выполняется
условие:
, (2.1.5)
где А – постоянная, то используя метод неопределенных множителей Лагранжа
придём к функционалу
, (2.1.6)
где л – множитель Лагранжа. Стационарная точка функционала имеет место при л=
щ2. Если , то после интегрирования по времени функционал примет вид:
, (2.1.7)
где и - квадратичные формы:
, (2.1.8)
, (2.1.9)
и являются амплитудами потенциальной и кинетической энергий.
В работе итерационный процесс строится следующим образом:
, где - вектор узловых неизвестных, - единичный вектор в направлении , - шаг.
Функционал в k+1 приближении образом записывается в виде:
, (2.1.10)
где , а - данная величина может быть истолкована как сила инерции, тогда
функционал примет вид
, (2.1.11)
в результате функционал примет вид:
(2.1.12)
Приращение функционала на k+1 приближении равно
(2.1.13)
Величина шага определяется из условия максимальной скорости уменьшения
, (2.1.14)
тогда
, (2.1.15)
отсюда величина шага определяется следующим соотношением
(2.1.16)
Таким образом итерационный процесс упрощается и конечная формула для
определения шага имеет туже структуру , что и для статической задачи. Вторая
собственная форма колебаний и собственная частота определяются на
подпространстве, ортогональном первой собственной форме колебаний. Вектор,
ортогональный первой собственной форме колебаний определяется соотношением:
, (2.1.17)
где - нормированный собственный вектор, соответствующий первой собственной
частоте. Тогда величина шага при переходе в k+1 приближении запишется:
, (2.1.18)
аналогично определяется шаг при нахождении высших собственных частот и
соответствующих им форм колебаний
.(2.1.19)
где квадрат круговой l-й собственной частоты, - l-я собственная форма
колебаний, - число определяемых собственных частот и соответствующих им
собственных форм колебаний. Таким образом решая систему (2.1.14) и применяя
отношение Релея-Ритца определяется необходимое число собственных частот и
соответствующих им собственных форм колебаний.
Для ускорения сходимости итерационного процесса использовался метод неполной
релаксации в котором приближения строилось в виде:
(2.1.20)
где - параметр релаксации. Оптимальный параметр релаксации выбирается на
основании работы [17].
В качестве критерия останова итерационного процесса использовалось следующее
условие:
(2.1.21)
где - наперед заданная малая постоянная.
Для реализации предложенного метода были разработаны вычислительные программы
определения собственных частот и соответствующих им собственных форм колебаний,
при продольных, крутильных и изгибных колебаниях стержней при продольных и
изгибных колебаниях пластин, при свободных колебаниях пластинчато-оболочечных
конструкций, а также при колебаниях трехмерных тел.
Решение тестовых и практических задач показало, что процесс сходится и
позволяет с заданной точностью определить собственные частоты и соответствующие
им собственные формы колебаний.
Следует также отметить, что по сравнению с традиционным подходом минимизации
отношения Релея-Ритца методом покоординатного спуска, для нахождения
собственных частот и соответствующих форм колебаний, данный подход позволил в
несколько раз уменьшить время решения задач, что весьма существенно при решении
прикладных задач.
2.2 Сходимость схем приближенного решения для задач на собственные значения.
Задачи на собственные значения упругих систем можно представить в следующей
вариационной форме [128].
(2.2.1)
при условиях
(2.2.2)
Где - квадратичный функционал
– квадрат -й собственной
- Київ+380960830922