РАЗДЕЛ 2
ГРАНИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЗАДАЧАХ
О КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ В ТЕЛАХ С ТРЕЩИНАМИ И ЗАДАЧАХ ГИДРОАЭРОУПРУГОСТИ
В данном разделе приведены формулировки краевых задач пространственной теории
трещин, задач теплопроводности для тел с трещинами и некоторых задач обтекания
тонких несущих поверхностей. В этих задачах неизвестные функции удовлетворяют
дифференциальным уравнениям (или системам уравнений) эллиптического типа.
Трещины в теле, лопасти гидравлических и ветряных турбин представляют собой
тонкие поверхности, ограниченные кусочно-гладкими контурами. На этих
поверхностях задаются соответствующие граничные условия. Для решения
рассматриваемых пространственных задач применяются методы теории потенциала. С
их помощью эти задачи сводятся к граничным интегральным уравнениям. Некоторые
из этих уравнений имеют так называемые сильные особенности в ядрах. Проведенные
в диссертации теоретические исследования позволили разработать эффективный
метод численного решения таких уравнений и применить его к решению инженерных
задач.
2.1. Сведение задачи о гидроупругих колебаниях элементов конструкций к
сингулярным интегральным уравнениям
2.1.1. З а д а ч а о б т е к а н и я р а б о ч и х о р г а н о в (л о п а с - т
е й) г и д р а в л и ч е с к и х и в е т р я н ы х т у р б и н . Для расчета
частот и форм свободных колебаний лопастей гидравлических и ветряных турбин
необходимо решить вспомогательную задачу определения перепада давления со
стороны жидкости на смоченные поверхности. Далее, в разделах 5–7 на основе
решения этой задачи рассчитаны частоты и формы колебаний лопастей
гидравлических и ветряных турбин с учетом присоединенных масс.
Будем моделировать лопасти тонкими несущими поверхностями [2, 3, 24, 25, 26,
27, 30, 82, 90, 207, 229, 356]. Скорость жидкости претерпевает разрыв,
распространяющийся по поверхностям лопасти и вихревой пелены за ней.
Рассмотрим задачу обтекания тонкой несущей поверхности потоком идеальной
несжимаемой жидкости. Предположим, что всюду вне несущей поверхности S1 и
вихревого следа S2 за ней течение жидкости является безвихревым. Тогда
существует потенциал возмущенных скоростей жидкости F(x,t), удовлетворяющий
уравнению Лапласа
DF=0, V=grad F. (2.1)
Для определения давления жидкости на смоченные поверхности служит интеграл
Коши-Лагранжа, который может быть записан в следующем виде [75]:
, (2.2)
где r2 – плотность жидкости;
V0 – скорость невозмущенного потока;
F+ и F– – предельные значения потенциала скоростей F при стремлении точки
наблюдения к вихревой поверхности вдоль нормалей n+ и n–, соответственно.
Необходимо, чтобы на несущей поверхности S1 было выполнено условие непротекания
+, xО S1, (2.3)
а на поверхности вихревого следа S2 – условие отсутствия перепада давлений
=0, xО S2 , (2.4)
где w – прогиб деформируемого элемента.
Потребуем также выполнения условия затухания возмущенных скоростей на
бесконечности (условия Зоммерфельда)
gradFЅҐ =0. (2.5)
Определив потенциал скоростей, с помощью интеграла Коши-Лагранжа найдем перепад
давления жидкости на смоченную поверхность [75].
2.1.2. М е т о д з а д а н н ы х ф о р м. Рассмотрим задачу о свободных упругих
колебаниях элементов конструкций в идеальной несжимаемой жидкости.
Систему уравнений движения символически запишем в виде
, (2.6)
где L, М – операторы упругих и массовых сил;
Pa – давление жидкости на рассматриваемый деформируемый элемент конструкции
(например, лопасть);
U=(u1, u2, w) – вектор-функция перемещений.
Рассмотрим задачу о малых гармонических колебаниях упругого элемента
конструкции в потоке. Представим вектор U в форме U=ueiWt, где W – частота, а u
– собственная форма колебаний рассматриваемого элемента в жидкости.
Будем искать собственные формы колебаний в жидкости в виде
, (2.7)
где uk – собственные формы колебаний в вакууме;
сk – неизвестные коэффициенты.
Другими словами, форму колебаний деформируемого элемента в жидкости определим
как линейную комбинацию собственных форм колебаний в вакууме.
Имеют место следующие соотношения:
Следовательно,
.
где – k-ая частота собственных колебаний в вакууме.
Эти соотношения показывают, что собственные формы колебаний рассматриваемого
элемента в вакууме ортонормированны по матрице масс.
Рассмотрим правую часть уравнений (2.6). Отметим, что Pa = (0,0,P) вследствие
того, что идеальная жидкость создает только нормальное давление на погруженном
теле.
Поскольку жидкость идеальная; несжимаемая, а всюду вне несущей поверхности S1 и
вихревого следа S2 за ней течение жидкости является безвихревым. то существует
потенциал скоростей, удовлетворяющий гармоническому уравнению.
В случае гармонических колебаний в предположении, что скорость набегающего
потока равна нулю, в соответствии с интегралом Коши-Лагранжа (2.2) величина P
может быть представлена следующим образом:
где .
Уравнения движения двух сред и граничное условие сопряжения запишутся в этом
случае в виде
, . (2.8)
. .
Таким образом, требуется определить функции , j, удовлетворяющие системе
дифференциальных уравнений (2.8), условиям непротекания и затухания возмущенной
скорости жидкости на бесконечности (2.5), а также условиям закрепления
деформируемого элемента.
2.1.3. Ф у н д а м е н т а л ь н о е и с и н г у л я р н о е р е ш е н и я у р
а в н е н и я Л а п л а с а. Пусть x=(x1,x2,x3) и x=(x1,x2,x3) – две точки
трехмерного евклидова пространства E3 , а декартово расстояние r между этими
точками равно
r = Ѕx – xЅ=.
Рассмотрим функцию
f( x,x )= . (2.9)
Будем считать точку x фиксированной. Тогда f(x, x) можно рассматривать как
функцию точки x. Очевидно, что функция f(x, x) разрывна
- Київ+380960830922