Оптимізація кінематичних геодезичних мереж

РОЗДІЛ 2
ОПРАЦЮВАННЯ КІНЕМАТИЧНИХ ГЕОДЕЗИЧНИХ МЕРЕЖ
Особливістю кінематичної мережі є безперервна зміна в часі просторового
положення її пунктів. Усі існуючі геодезичні мережі можна вважати
кінематичними. Однак, якщо точність визначення координат пунктів мережі значно
грубіша, ніж величина їх зміщень, то такі мережі відносять до статичних. У
статичних мережах просторовими зміщеннями пунктів в часі нехтують. До таких
мереж відносяться державні мережі нижчих класів, а також мережі, які
створюються для забезпечення землевпорядних робіт і т.п. Інженерно - геодезичні
побудови, створені для визначення зміщень і деформацій будівель та споруд
інженерних об’єктів, деформацій та зсувів земної поверхні, відносяться виключно
до кінематичних мереж.
Підтримка кінематичної мережі вимагає проведення систематичних повторних циклів
вимірів її елементів. Частота проведення повторних спостережень залежить від
заданої точності визначення зміщень та деформацій інженерних споруд чи земної
поверхні, а також швидкості протікання цих процесів.
Однією з проблем опрацювання кінематичних мереж є визначення істинного
просторового положення пунктів на епоху відповідного циклу спостережень із
врахуванням зміщення всіх пунктів мережі.
Визначення класичним методом зрівноваження координат пунктів за результатами
окремого циклу спостережень вимагає жорсткої фіксації системи координат у
просторі відносно одного з пунктів. Відповідно таке зрівноваження вимагає
прийняття нерухомості одного з пунктів мережі відносно хоча б одного
попереднього циклу спостережень. Таке припущення не відповідає властивостям
кінематичних мереж. Крім цього при порівнянні результатів різних циклів
спостережень, або обчисленні кінематичних чи деформаційних параметрів за даними
цих циклів необхідно враховувати можливу зміну масштабу мережі. Ця зміна
масштабу може бути обумовлена впливом в основному інструментальних
систематичних похибок. Однак при постійному застосуванні однієї методики
спостережень і тих же інструментів зміна масштабу мережі буде зведена до нуля.
Класичний метод зрівноваження може бути модифікований введенням параметру часу
[294,303]. При цьому всі цикли вимірів зрівноважувались сумісно, а рівняння
поправок доповнюються невідомими з коефіцієнтами, які є функцією часу. Для
кожного конкретного виміру в ці коефіцієнти входить як незалежна величина час
проведення конкретного циклу спостережень. Однак будь-яке рівняння поправок
вимагає апріорного вибору моделі кінематики мережі. Це може бути модель
прямолінійного рівномірного руху, або рівноприскореного руху, чи коливальні
зміщення, описані рядами Фур’є, та інші. Ускладнення кінематичної моделі мережі
ускладнює математичну структуру рівнянь поправок і збільшує кількість
невідомих. Застосування цього методу є ефективне, якщо істинна кінематична
модель хоча б наближено відповідає апріорній вибраній моделі. Однак на практиці
частіше відсутня інформація про структуру кінематичної моделі і застосування
спрощених моделей є недосконале, а кінцеві результати спотворюються похибками,
породженими невідповідністю вибраної моделі.
2.1. Зрівноваження вільних мереж.
Крім класичного зрівноваження існують методи зрівноваження вільних мереж. Під
вільною мережею розуміється побудова , результати вимірів у якій не
спотворюються під впливом похибок вихідних даних [14]. В цьому випадку виникає
необхідність фіксації системи координат відносно пунктів мережі, обумовлена
проблемою знаходження оберненої матриці коефіцієнтів системи нормальних
рівнянь. Відмова від вибору жорстокого пункту мережі, орієнтації системи
координат і масштабу мережі призводить до сингулярності (виродженності) цієї
матриці.
Цей метод знайшов найбільше застосування для опрацювання кінематичних мереж,
зокрема мереж геодинамічних полігонів. При цьому розрізняють максимально вільні
мережі і напіввільні мережі. Максимально вільні мережі інколи називають
нуль-вільними [58]. У максимально вільних мережах дефект рангу матриці
нормальних рівнянь є максимально можливий. У висотних мережах , у планових - ,
а у просторових [66]. Для максимально вільних мереж , а напіввільних . В
максимально вільних мережах не фіксується жорсткий пункт, орієнтація системи
координат і масштаб мережі. В напіввільних мережах фіксують не всі необхідні
атрибути (наприклад, жорсткий пункт або орієнтація системи координат, чи
жорсткий пункт і масштаб мережі). Проблема сингулярності матриці коефіцієнтів
нормальних рівнянь у методиці зрівноваження напіввільних мереж вирішується
визначенням - оберненої матриці, а у вільних мережах за допомогою узагальненої
оберненої (псевдооберненої) матриці. Існують інші математичні методи, які
дозволяють замінити процес знаходження псевдообернених матриць
[46,177,241,268], але фізичний зміст методу від цього не змінюється. Слід
врахувати, що напіввільні мережі не можна віднести до кінематичних мереж, тож
зупинимося на виключно вільних мережах.
Відомо, що для несингулярної матриці коефіцієнтів нормальних рівнянь
кореляційна матриця є оберненою, то б то . Відповідно має місце залежність
, (2.1)
де - одинична матриця. Оскільки для сингулярних матриць , то знаходження , яке
відповідає (2.1), є неможливе. У зв’язку з цим вводять поняття узагальненої
оберненої матриці , яка відповідає наступним умовам
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
де - м