РАЗДЕЛ 2
ВЫБОР НАПРАВЛЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ
В этом разделе вводятся все необходимые для дальнейшего изложения определения и обозначения, обоснован выбор направления исследований, а также приведена постановка основных задач, решению которых посвящена настоящая диссертация, и перечислены методы, используемые при этом.
Поскольку в классических трудах, монографиях и научных статьях, обзор которых сделан в Разделе 1, обозначения весьма разнообразны и порой сильно отличаются от работы к работе, здесь, во избежание путаницы и недоразумений, будут использованы термины и обозначения из работ автора [210 - 237]. Кроме того, сразу же заметим, что среди многочисленных моделей, рассматриваемых в кинетической теории газов, в диссертации изучаются лишь две: модели твердых и шероховатых сфер, причем масса всех молекул для простоты считается равной единице, а внешние силы полагаются равными нулю.
2.1. Основные определения и обозначения
2.1.1. Ф у н к ц и я р а с п р е д е л е н и я ч а с т и ц. Рассматривается газ во всем трехмерном пространстве R3, состоящий из одинаковых шарообразных частиц (молекул) единичной массы и диаметра d. Положение молекулы в пространстве характеризуется координатой x=(x1;x2;x3)?R3, ее скорость обозначим через v=(v1;v2;v3)?R3; а через t?R1 - время. Для шероховатых молекул (модель Бриана-Пиддака [34 - 38]), способных, помимо поступательного движения, совершать вращение вокруг собственной оси (подробное описание модели приведено во Введении и Разделе 1), вводится также вектор угловой скорости молекулы ?=(?1;?2;?3)?R3.
Основной величиной при описании эволюции газа с помощью уравнения Больцмана является функция распределения числа частиц: f(t,v,x) ? для молекул без вращательной степени свободы и f(t,v,x,?) ? для шероховатых сфер. Физический смысл этой функции состоит в следующем: она равна количеству частиц, которые вблизи момента времени t и точки пространства x имеют скорости, близкие к v (для шероховатых сфер - и угловые скорости, близкие к ?).
Через функцию f распределения известным образом [7 - 9, 14 - 17, 23] выражаются все макроскопические величины, характеризующие состояние газа: его плотность, импульс, энергия и т.п. Таким образом, главная задача кинетической теории газов состоит в отыскании функции f и изучении ее свойств.
2.1.2. У р а в н е н и е Б о л ь ц м а н а. Как известно [1], функция распределения f должна удовлетворять нелинейному интегро-дифференциальному кинетическому уравнению Больцмана, которое для произвольного закона взаимодействия между молекулами и в отсутствие внешних сил может быть записано следующим образом:
D(f) = Q(f,f), (2.1)
D(f) = + v, (2.2)
Q(f,f) = B(v?v1,?)[f(t,,x)f(t,v?,x) - f(t,v1,x) f(t,v,x)]. (2.3)
где Q(f,f) - нелинейный интегро-функциональный оператор, который принято называть интегралом (или оператором) столкновений;
- градиент функции f по пространственной переменной x;
v, v1 ? R3 - скорости двух частиц ("партнеров по столкновению") перед соударением;
, v? ? R3 - скорости этих частиц после соударения;
B - множитель, называемый столкновительным членом,
? ? R3 - единичный вектор, направленный вдоль оси центров "партнеров" в момент столкновения;
? ? R3 - единичная сфера.
Конкретный вид столкновительного члена В, а также скоростей , v? зависит от выбора той или иной модели взаимодействия между молекулами. Приведем соответствующие выражения для интересующих нас моделей.
2.1.2.1. М о д е л ь т в е р д ы х с ф е р. В случае модели твердых (жестких, абсолютно упругих) сфер предполагается, что взаимодействие между молекулами происходит мгновенно, лишь в момент соударения между ними, в полном соответствии с законами сохранения энергии и импульса. Исходя из этого можно получить, что [17]:
v? = v ? ?(v ? v1,?), = v + ?(v ? v1,?), (2.4)
B(v ? v1,?)=?(v ? v1,?)?. (2.5)
2.1.2.2. М о д е л ь ш е р о х о в а т ы х с ф е р. Для модели шероховатых сфер уравнение (2.1) ? (2.3) должно быть модифицировано следующим образом [7] (уравнение Бриана-Пиддака):
Q(f,f) = h((v1 ? v,?))?
[f(t,v*,x,?*) f(t,,x,) - f(t,v,x,?) f(t,v1,x,?1)], (2.6)
где
h((v ? v1,?)) = 1/2((v1 ? v,?)+?(v1 ? v,?)?) (2.7)
а линейные (v*,) и угловые (?*,) скорости партнеров по соударению перед столкновением выражаются через соответствующие величины v, v1, ?, ?1 после него следующим образом:
v* = v ? {b(v ? v1) + ?(v ? v1,?) + bd[? ? (? + ?1)]},
= v1 + {b(v ? v1) + ?(v ? v1,?) + bd[? ? (? + ?1)]},
?* = ? + {[? ? (v ? v1)] + d[?(?,? + ?1) ? ? ? ?1]},
= ?1 + {[? ? (v ? v1)] + d[?(?,? + ?1) ? ? ? ?1]}. (2.8)
Кроме того, момент инерции каждой молекулы I связан с ее диаметром соотношением:
I = , (2.9)
где параметр b, входящий в (2.8), (2.9), зависит от внутренней структуры молекул и может принимать значения между нулем (если вся масса частицы сосредоточена в ее центре) и 2/3 (если вся масса сосредоточена на ее поверхности), причем предполагается, что распределение вещества внутри самой молекулы изотропно, и, значит, центр масс каждой из частиц совпадает с ее геометрическим центром (отметим в этой связи, что предлагались и более сложные модели, для которых указанные предположения не выполнены - например, модель Джинса [7], однако в рамках данной работы они не рассматриваются).
2.1.3. М а к с в е л л о в с к и е р а с п р е д е л е н и я. Функциями, обращающими в нуль интеграл столкновений, являются максвелловские распределения (максвеллианы), которые, как известно [7, 17], в случае модели твердых сфер (и других молекул без внутренних степеней свободы) имеют вид:
M = M(t,v,x) = , (2.10)
а для модели шероховатых сфер - следующий вид:
M = M(t,v,x,?) = . (2.11)
Здесь гидродинамические параметры ? (
- Київ+380960830922