РАЗДЕЛ 2
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РЕАКТИВНЫХ И ИНДУКТОРНЫХ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ В ЛИНЕЙНОЙ ПОСТАНОВКЕ ЗАДАЧИ
2.1. Общий подход к построению математических моделей на основе энергетического метода
Основной задачей электромагнитного расчета любой электрической машины является определение электромагнитной силы (ЭМС) и электромагнитного момента (ЭММ), приложенных к ее перемещающейся части. Для расчета ЭМС (ЭММ) теория электромагнетизма предлагает три метода [1,68,135,193]:
- по изменению энергии или коэнергии магнитного поля при бесконечно малом перемещении выделенного объема на расстояние в направлении единичного вектора по координате , где ;
- через тензор натяжения в магнитном поле;
- через объемную и поверхностную плотность ЭМС в магнитном поле.
Фундаментальным методом расчета ЭМС и ЭММ, из которого вытекают другие методы, является энергетический, идея которого заключается в применении закона сохранения энергии к электромеханическому преобразованию, которое происходит при бесконечно малом изменении координаты , характеризующей положение выделенной части системы в объеме по отношению к остальной ее части. Перемещению подвергается выделенная часть системы , для которой необходимо определить действующие на нее ЭМС или ЭММ, объединяемые понятием обобщенной ЭМС [68].
Обобщенная ЭМС , действующая на нелинейную магнитную систему целиком (либо на ее выделенную часть), может быть определена из уравнения электромеханического преобразования энергии для линейной модели этой системы:
, (2.1)
где - электрическая энергия, поступившая в контуры системы от управляемых источников энергии, поддерживающих в этих контурах постоянство тока или потокосцепления при перемещении на бесконечно малое расстояние ,
- приращение энергии магнитного поля линейной модели нелинейной системы при перемещении на ,
- механическая работа, совершаемая обобщенной ЭМС при изменении на координаты , характеризующей положение нелинейной системы, либо ее части,
- количество возбуждающих контуров нелинейной системы.
Из (2.1) следует, что обобщенную ЭМС можно найти, применяя закон сохранения энергии к электромеханическому преобразованию, которое происходит либо в условиях сохранения токов, либо в условиях сохранения потокосцеплений возбуждающих контуров при малом перемещении . В первом случае по абсолютной величине есть частная производная по координате от магнитной энергии , а во втором случае - частная производная по той же координате от магнитной коэнергии линейной модели нелинейной системы. Причем, как строго показано в [68], в линейной модели нелинейной системы приращение магнитной энергии не отличается от приращения коэнергии и, следовательно, обобщенная ЭМС, найденная при указанных выше условиях через приращение либо , всегда одинакова по абсолютной величине, т.е.:
(2.2)
Перемещение нелинейной магнитной системы (ее части) должно осуществляться по направлению действия обобщенной ЭМС. Если определяется компонента ЭМС, действующая на объем в направлении оси , т.е. , то перемещение должно быть линейным. Если определяется электромагнитный момент относительно оси , т.е. , то перемещение относительно этой оси должно быть угловым.
Из уравнения (2.2) в случае линейной магнитной системы вытекают выражения для определения обобщенной ЭМС, полученные как при условии постоянства токов контуров:
, (2.3)
так и при условии постоянства потокосцеплений контуров:
. (2.4)
Определение ЭМС (ЭММ) через изменение энергии или коэнергии при малом перемещении возможно не только в условиях постоянства токов, либо потоков, возбуждаемых контуров, но и в условиях постоянства токов или потоков ветвей магнитной цепи [68]. В этом случае определение обобщенной ЭМС сводится к вычислению приращений энергии или коэнергии линейных моделей ветвей при изменении положения перемещаемой части на , которые, в свою очередь, определяются через приращения проводимостей или сопротивлений линейных моделей ветвей. Тогда выражение для обобщенной ЭМС:
, (2.5)
где - число ветвей,
- ток (МДС) ветви,
- проводимость ветви,
- поток ветви,
- сопротивление ветви.
Выражения (2.3)(2.5) являются базовыми для разработки математических моделей рассматриваемых в настоящей работе реактивных и индукторных ЭМП в линейной постановке задачи.
2.2. Математическая модель вращающегося реактивного электромеханического преобразователя
Для вращающегося реактивного ЭМП, содержащего одну обмотку на статоре, уравнение (2.3) для мгновенного значения ЭММ преобразуется к виду:
, (2.6)
где - среднее значение тока фазы,
- индуктивность фазы,
- механический угол поворота ротора.
Очевидно, что для определения момента по (2.6) необходимо представить зависимость (рис. 2.1), период изменения которой равен , в виде аналитического выражения. Данная зависимость имеет максимум при совпадении осей зубцов статора и ротора (согласованное положение), минимум - при совпадении оси зубца статора с осью паза ротора (рассогласованное положение).
Рис. 2.1. Зависимость в реактивных ЭМП
На рис. 2.1 - число зубцов ротора. Методы аппроксимации в данном случае могут быть различными: линейная [238], кусочно-линейная [29,241], параболическая [174], отрезком гармонического ряда [187,256]. Как показывают результаты практической реализации ряда методов аппроксимации, наиболее приемлемым вариантом по точности является представление отрезком ряда Фурье [187]:
(2.7)
где , .
С учетом (2.7) выражение (2.6) преобразуется к виду:
. (2.8)
При выводе (2.8) принята система допущений, правомерность которых обоснована в [187]:
- нелинейная магнитная цепь заменена эквивалентной линейной, в которой насыщение учитывается коэффициентом насыщения ;
- взаимоиндуктивность между катушками фаз обмотки отсутствует;