РАЗДЕЛ 2
РАЗВИТИЕ МЕТОДОВ АНАЛИЗА БИФУРКАЦИЙ И УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Рассматриваемые в работе модели колебаний гибких тонкостенных деформируемых
систем можно представить, в общем виде, следующей системой уравнений в частных
производных:
(2.1)
, (2.2)
где - прогиб деформируемой системы; - функция напряжений в срединной
поверхности; - интегро - дифференциальный оператор с частными производными; -
дифференциальный оператор.
Если колебания цилиндрической оболочки моделируются уравнениями Донелла-
Муштари- Власова, то уравнение (2.2) выражает уравнение совместности
деформаций. Аналогичная ситуация возникает, если колебания упругих пластин
моделируются уравнениями Кармана. Колебания гибких стержней в плоскости
моделируются одним уравнением (2.1), которое является или
интегро-дифференциальным уравнением в частных производных, или
дифференциальным. Прогиб при колебаниях тонкостенной конструкции представим
так:
(2.3)
где - функции пространственных координат, которые в основном выбираются в виде
собственных функций линеаризованного уравнения.
Если соотношение (2.3) вводится в уравнение совместности деформаций (2.2), то
функция напряжений принимает следующий вид
(2.4)
Функции могут отличаться от . Решение (2.4) вводим в (2.1). Используя метод
Бубнова- Галеркина, получаем систему нелинейных, обыкновенных дифференциальных
уравнений
(2.5)
где ; С, D - матрицы размером nЧn; - нелинейная вектор-функция.
В процессе исследования нелинейных колебаний деформируемых систем автор работы
пришел к следующему выводу. Деформируемые системы чрезвычайно богаты сложными
динамическими явлениями. Для глубокого исследования процессов даже в одной
системе приходится применять группу методов. Поэтому в этой работе автор
развивает несколько методов теории нелинейных колебаний. Например, при
рассмотрении комбинационного резонанса гибкого стержня вначале применен метод
многих масштабов, потом полученная система модуляционных уравнений
анализировалась вторым методом Ляпунова [71] и был проведен анализ устойчивости
по 1-му приближению. Для исследования бифуркаций в системе модуляционных
уравнений использован метод центральных многообразий. При изучении фрикционных
автоколебаний в системе, находящейся под действием почти периодической
нагрузки, сначала была получена система модуляционных уравнений с помощью
метода многих масштабов. Для исследования почти периодических движений к
полученной системе модуляционных уравнений применен метод Крылова-Боголюбова.
Анализ устойчивости модуляционных уравнений производился по первому
приближению. Для исследования хаоса в модуляционных уравнениях строилась
гомоклиническая функция Мельникова. Методы анализа нелинейной динамики, которые
развиваются в этой работе, излагаются в статьях автора
[5,6,10,13,14,18,23,27,148,149,150].
2.1. Развитие метод Мельникова
2.1.1. А н а л и з с у б г а р м о н и ч е с к и х д в и ж е н и й и и х с е д
л о-у з- л о в ы х б и ф у р к а ц и й. В данном подразделе рассматриваются
колебания деформируемых систем, которые можно описать одной формой колебаний.
Развиваемый в этом подразделе метод излагается в статьях автора [150,18]. Такие
приближения в достаточно точно моделируют колебания деформируемых систем.
Например, для моделей прямолинейных стержней подобной аппроксимации часто
бывает достаточно для адекватного описания основной формы нелинейных колебаний.
Однако такого приближения недостаточно при анализе комбинационных резонансов,
что будет рассмотрено в следующем разделе работы. Следует добавить, что
одномодовая аппроксимация является совершенно непригодной для цилиндрических
оболочек и колец, когда в колебаниях участвуют две сопряженные пространственные
формы колебаний [91]. Итак, предположим, что в результате процедуры
дискретизации мы получим следующее дифференциальное уравнение:
(2.6)
где - периодическая функция по явно входящему времени.
Порождающее уравнение системы (2.6) () является существенно, нелинейным, что
заставляет далее использовать метод, отличный от процедур Крылова-Боголюбова.
Уравнение (2.6) описывает вынужденные колебания гибкого стержня, потерявшего
устойчивость по Эйлеру с учетом одной формы колебаний. Существуют деформируемые
системы, у которых приближение колебаний по одной форме имеет порождающую
систему, отличающуюся от (2.6). Один из примеров подобных систем
рассматривается в п. 2.1.2. В общем случае динамические системы типа (2.6)
можно записать так:
(2.7)
где - переменные состояния динамической системы; H – гамильтониан порождающей
системы; , -T - периодические функции по явно вхо-
дящему времени.
Итак, порождающие системы, рассматриваемые в настоящей работе, являются
гамильтоновыми. В этом разделе предполагается, что фазовые траектория
порождающей системы должны иметь гомоклиническую орбиту с периодическими
траекториями внутри нее (рис. 2.1). На этом рисунке показаны три вида движений:
гомоклинические орбиты (сепаратрисы), периодические движения внутри сепаратрис
и периодические движения вне сепаратрисы. Теперь решаемая в этом подразделе
задача может быть сформулирована так: “Каково поведение установившихся движений
возмущенной системы?” Так как порождающая система возмущается незначительно, то
будут наблюдаться периодические движения как внутри гомоклинической орбиты, так
и снаружи. Возникает
- Київ+380960830922