Математичні моделі, чисельно-аналітичні й чисельні методи в нелінійній теорії синтезу випромінюючих систем

РОЗДІЛ 2
ОСНОВНІ ПРИНЦИПИ ПОБУДОВИ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ
ВИПРОМІНЮЮЧИХ СИСТЕМ
У цьому розділі подаються основні принципи та фундаментальні положення, які
використовуються при побудові математичних моделей різних типів випроміню­ючих
систем, в основу яких покладено рівняння Максвелла. Розглядаються випад­ки,
коли випромінююча система розміщена в деякій обмеженій області необмеже­ного
однорідного ізотропного середовища. Наведено основні співвідношення загальних
розв’язків задач аналізу, які зв’язують асимптотику випромінюваного
електромагнітного поля на безмежності з розподілом струмів (полів) у
випромінюючій системі, і є основою для формулювання математичних моделей
синтезу різних типів випромінюючих систем у вигляді обернених задач. Визначено
основні напрямки наукових досліджень та основні методи, які застосовуються при
розв’язуванні поставлених проблем.
2.1. Математична модель випромінюючої системи, розміщеної
в однорідному ізотропному необмеженому просторі
2.1.1. Зовнішня задача аналізу випромінюючої системи. Нехай у деякій обмеженій
області необмеженого ізотропного однорідного середовища задано розподіл
електричних і магнітних струмів збудження (випромінююча система)
електромагнітного поля, які змінюються в часі за законом , де - частота
коливань. У цьому випадку система рівнянь Максвелла в диференціальній формі
записується у вигляді [142, 143]:

, (2.1)
де
- вектор комплексної амплітуди напруженості електричного поля, B/м;
- вектор комплексної амплітуди напруженості магнітного поля, А/м;
- вектор комплексної амплітуди об’ємної густини стороннього електричного
струму, А/м2;
- вектор комплексної амплітуди об’ємної густини стороннього магнітного струму,
В/м2;
- комплексна діелектрична проникність середовища Ф/м, - діелектрична
проникність середовища, - питома об’ємна провідність середовища, См/м;
- магнітна проникність середовища, Г/м;
і - об’ємна густина електричних і магнітних зарядів, відповідно.
Для векторів , та густин , мають місце рівняння неперервності електричних і
магнітних струмів
, . (2.2)
Із цих рівнянь випливає, що при визначенні полів, які випромінюються
сторон­німи струмами й зарядами, можна виходити тільки з наявності струмів,
оскільки заряди визначаються із (2.2), як тільки задано у випромінюючій системі
розподіл струмів.
Зауважимо, що магнітні струми і заряди в природі не існують [142], проте
введення в математичні моделі поняття сторонніх густин фіктивних магнітного
струму і заряду значно спрощує для певних типів випромінюючих систем
елек­тродинамічні розрахунки.
Для знаходження розв’язків системи (2.1) вводять [142] скалярні , і векторні
потенціали електричного поля та магнітного поля , які відповідно зв’язані між
собою умовами Лоренца
, . (2.3)
Векторні потенціали та визначаються, як розв’язки неоднорідних рівнянь
Гельмгольца
, , (2.4)
відповідно, де , - коефіцієнт поширення. Для вільного простору величини i -
дійсні й зв’язані зі швидкістю світ­ла співвідношенням , а називають хвильовим
числом, де - довжина хвилі у вільному просторі. Параметр Ом називають хвильовим
опором вільного простору.
Система рівнянь (2.1) з урахуванням рівності (2.3) й умов випромінювання на
безмежності має єдиний розв’язок, який записується таким чином:
,
. (2.5)
Умови єдиності розв’язків системи рівнянь Максвелла сформульовано і до­ведено у
[142] (див. с. 125). Зокрема, при формулюванні зовнішньої задачі
елек­тродинаміки необхідно, щоб розв’язок задовольняв граничні умови на
поверхнях поділу середовищ та умови випромінювання на безмежності. Граничні
умови на поверхнях поділу реальних середовищ (середовищ зі скінченною
провідністю) зводяться до неперервності дотичних складових векторів
електричного та маг­нітного полів і при переході від середовища 1 до середовища
2 записуються так:
, . (2.6)
На поверхні ідеального електричного провідника
, , (2.7)
тобто дотична складова вектора напруженості електричного поля дорівнює нулю, а
нормальна складова дорівнює відношенню поверхневої густини електричного заряду
до діелектричної проникності середовища, яке оточує провідник. Умови
випромінювання на безмежності записують у вигляді співвідношень
, . (2.8)
Із (2.8) випливає, що шукане електромагнітне поле зовнішньої задачі
електроди­наміки на великих відстанях від джерел збудження і поверхонь поділу
середо­вища повинно бути поперечним. При цьому не може існувати хвиль, які
поширю­ються із безмежності до збуджуючих джерел.
2.1.2. Діаграма напрямленості випромінюючої системи. Накладаючи від­повідні
обмеження на умови задачі аналізу випромінюючої системи, знайдемо асимптотичні
вирази для розрахунку електромагнітних полів, визначених форму­лами (2.5), для
випадку, коли віддаль між точкою спостереження і областю значно перевищує
довжину хвилі. Оскільки випромінююча система розміщена в необмеженому
однорідному ізотропному середовищі, то векторні потенціали виражаються через
функцію Гріна необмеженого тривимірного простору
. (2.9)
Тут - віддаль між точками інтеґрування i спостереження . Векторні потенціали
мають вигляд [142]
, (2.10)
де - об’єм, у якому зосереджені струми збудження об’ємної густини та .
Покладається [142], що функції , належить до простору iнтеґровних з квадратом
функцій на області . Вирази (2.10) є строгими і єдиними розв’язками рівнянь
Гельмгольца (2.4).
Введемо сферичну систему координат із центром всередині випромі­нюючої системи
(рис.2.1). Віддаль у цій системі визначається за формулою , де i - модулі
радiусів-векто