РОЗДІЛ 2
МЕТОДИ ПОБУДОВИ АНАЛОГОВИХ ТА ДИСКРЕТНИХ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ
2.1. Постановка задачі побудови математичної моделі
В [99] наведено розв’язання проблеми побудови за заданими вхідними та вихідними
часовими сигналами x(t) та y(t) (напругами або струмами) математичних моделей
нелінійних схем, які описуються диференціальними рівняннями у явній формі.
Розглянемо принципи побудови математичних моделей нелінійних динамічних схем,
що мають вигляд неявних інтегро-диференціальних, а також відповідних дискретних
рівнянь при обмеженій апріорній інформації.
Нехай задано неперервні, скінченні та обмежені множини вхідних сигналів
{X(t)}{X(t)}, де {X (t)}={x(t)} та вихідних сигналів схеми {Y(t)}{Y(t)}, де
{Y(t)}={y(t)}, визначені на множинах та , які належать до класів та . Тобто,
для всіх моментів часу t[0;T] є відомими скінченні множини дій з елементами
{X(t)}=[x(t),x(t),...,x(t)], а також відповідних реакцій {Y(t)}=[y(t),
y(t),...,y(t)] (інакше кажучи, для всіх моментів часу t з інтервалу
спостереження T математичні описи вхідних та вихідних сигналів схеми відомі).
Покладемо, що сигнали та узгоджені у часі і для них виконується умова
причинності. Припустимо, що для та існує оператор . Визначимо за заданими
сигналами схеми x(t), y(t) структуру та параметри її математичної моделі.
Розглянемо традиційне для опису нелінійних схем представлення у вигляді
алгебро-диференціальних рівнянь у нормальній формі вигляду [80]:
, (2.1)
де – дійсні вектор-функції відповідно вхідних сигналів (збурень), параметрів
стану та вихідних сигналів (реакцій), а дійсна вектор-функція є диференційовною
за часом при . Узагальнимо систему рівнянь (2.1) для опису більш широкого класу
систем. Здійснимо це спочатку для випадку автономної системи, тобто при
відсутності дій . Для цього ще раз перепишемо систему (2.1), однак без
вектор-функції , при цьому подамо перше рівняння (2.1) в неявній формі. Тоді
система рівнянь (2.1) набуде вигляду
;
, (2.2)
з початковими умовами , де – дійсна вектор-функція, диференційовна за часом
при .
Теорема 2.1. Нехай функція задовольняє такі умови:
1°. Визначник матриці є відмінним від нуля для заданого інтервалу зміни .
2°. Функція є обмеженою, .
3°. є заданим коренем системи рівнянь .
Тоді неявне векторне диференціальне рівняння (2.2) зводиться до розширеної
системи нормальних диференціальних рівнянь першого порядку.
Доведення. Продиференціювавши перше з рівнянь системи (2.2) за , отримаємо
. (2.3)
На основі умови 1° можна стверджувати, що існує обернена матриця до матриці .
Позначимо таку матрицю . Тоді з рівняння (2.3) отримаємо таку систему
диференціальних рівнянь другого порядку в явній формі:
. (2.4)
Ввівши нові змінні , систему (2.4) зводимо до розширеної системи першого
порядку:
; (2.5)
Теорему доведено. а
Зауважимо, що до останньої системи можна застосовувати всі існуючі методи,
алгоритми та програми дослідження алгебрично-диференціальних рівнянь у явній
формі. Всі властивості явних систем диференціальних рівнянь на основі вказаної
теореми при виконанні умов 1°–3° поширюються також на неявні системи.
У випадку неавтономної системи, тобто при наявності відомих вхідних сигналів ,
система рівнянь (2.2) набуває вигляду
. (2.6)
Очевидно, що при виконанні умов теореми 1°–3° остання система може бути зведена
до явної форми аналогічно, як друга система.
Узагальнивши рівняння системи (2.2) на випадок автономної системи -го порядку,
отримаємо
(2.7)
з відповідними початковими умовами
Для неавтономної системи -го порядку при наявності в рівняннях похідних від дій
отримуємо:
, (2.8)
де , а початкові умови такі ж, як і для системи (2.7). Очевидно, що системи
(2.7), (2.8) зводяться до явної форми аналогічно, як і система (2.2).
Відомо, що елементи, вузли та пристрої радіотехнічних систем можуть описуватись
неявними функціями. Так, вольт-амперні характеристики частотно-перетворюючих
діодів описуються неявними функціями [100]. Нелінійні інерційні тракти
радіотехнічних систем описуються нелінійними неявними диференційними рівняннями
[101]. Для отримання розв’язків рівнянь, представлених у неявному вигляді,
можуть використовуватись потужні існуючі засоби [102]. Нехай у системі рівнянь
(2.8) . Ввівши позначення та додавши перше рівняння (2.8) до другого, для
непараметричної схеми у скалярному випадку отримаємо наступне загальне неявне
диференційне рівняння:
, (2.9)
з початковими умовами , де - дійсна нелінійна вектор-функція, диференційована
за часом , яка явно не залежить від часу [92, 104]. Сформулюємо задачу, як
задачу пошуку структури або (та) параметрів такої функції , яка задовольняє
умові
, (2.10)
де , при існуванні однозначного розв'язку та обмеженні (1.3).
2.2. Математичні моделі у вигляді алгебро-диференційних рівнянь
2.2.1. Визначення структури та параметрів математичної моделі. Визначення
структури та (або) параметрів функції F[...] здійснюватимемо шляхом
формулювання та розв’язання задачі мінімізації нев’язки шуканої математичної
моделі у певній нормі аналітично, чисельно-аналітичними або чисельними
методами). Розглянемо принципи побудови математичних моделей за допомогою
чисельних методів. Чисельно-аналітичні та аналітичні методи визначення
математичних моделей будуть розглянуті в наступних розділах. Відомо [29], що