ГЛАВА 2
ПОСТРОЕНИЕ ДВУХПОВЕРХНОСТНОЙ МОДЕЛИ РАСЧЕТА СЛОИСТЫХ КОМПОЗИТНЫХ ПАНЕЛЕЙ
Рис. 2.1.
Рассматривается слоистая конструкция в декартовой системе координат (Рис.
2.1). Лицевые поверхности слоев эквидистантны, имеют нулевую кривизну кручения
, изменяемостью главных кривизн пренебрегаем . Конструкция весьма пологая, т.е.
для коэффициентов первой квадратичной формы следует принять . Предполагается,
что радиусы кривизны значительно больше толщины конструкции и ее внешние
поверхности имеют одинаковую кривизну, а также можно записать . Введенные
ограничения позволяют отождествить криволинейную систему ортогональных
координат с плоской системой ортогональных координат. Оси системы координат
обозначают, а также .
В одной конструкции могут быть объединены слои из материалов различной
природы, свойства которых отождествляются с изотропным,
трансверсально-изотропным, ортотропным материалом. Ортогональные плоскости
упругой симметрии перпендикулярны к соответствующим ортогональным координатам .
Толщины слоев неизменны в плане конструкции. Нижние индексы 1,2,3 после запятой
обозначают операцию частного дифференцирования соответственно по осям , могут
использоваться и обычные обозначения. Употребляется суммирование по немым
нижним индексам. Верхний индекс в скобках обозначает номер слоя.
2.1. Модель с точным удовлетворением закона Гука.
2.1.1. Выбор гипотез о распределении компонент вектора перемещений по толщине
слоистого пакета.
При выводе гипотез о распределении компонент вектора перемещений по толщине
слоистого массива будем пользоваться такими положениями.
Деформации слоя конструкции связаны с перемещениями следующими соотношениями:
; ; , (2.1)
т.е. на стадии вывода гипотез о распределении компонент вектора перемещений по
толщине слоистой конструкции пренебрегаем ее кривизной, а также нелинейными
составляющими в деформациях, что существенно снижает громоздкость выражений
вводимых гипотез. Ранее так поступали в [111,136]. Оценка потерь точности при
этом из-за отсутствия соответствующих трехмерных аналитических решений не
производилась. Далее в главе 4 правомерность такого пренебрежения будет
обоснована.
Зависимость между напряжениями и деформациями определяется обобщенным законом
Гука
;
;
;
; ; . (2.2)
Здесь модули упругости -го слоя; модули сдвига; – коэффициенты Пуассона.
Обратные соотношения можно записать следующим образом:
;
;
;
; ; . (2.3)
Здесь упругие постоянные равны:
; ; ;
; ; ;
; ; ;
. (2.4)
Для изотропного тела эти постоянные составят
;
;
;
; . (2.5)
В каждом слое напряжения должны удовлетворять условиям равновесия
;
;
. (2.6)
При выводе соотношений прикладной теории расчета слоистых панелей будем
полагать, что на поверхности контакта слоев выполняются условия абсолютно
жесткого сцепления
; ;
; ;
;. (2.7)
На внешних поверхностях и могут задаваться нагрузки или перемещения
; ;
; ;
; ;
; ;
; ;
; . (2.8)
Выбор гипотез о распределении компонент вектора перемещений по толщине
слоистого пакета проведем, следуя итерационному подходу, который ранее
предложен С.А.Амбарцумяном [4] для построения одноповерхностных моделей плит и
оболочек.
На первом шаге итерационного процесса распределение перемещений по толщине
слоистой структуры принимается по линейному закону для тангенциальных
перемещений и по полилинейному для нормальных перемещений.
; (), (2.9)
где – искомые тангенциальные перемещения на лицевых поверхностях конструкции; –
искомые нормальные перемещения на лицевых поверхностях конструкции; , –
заданные линейные функции по толщине слоистой структуры; , – заданные
полилинейные функции по толщине слоистой структуры, линейные в пределах слоя,
учитывают жесткости слоев в поперечном направлении.
Выражения для функций распределения следующие:
, или с упрощением записи ;
, ; ; , .
Используя заданную аппроксимацию (2.9), а также соотношения Коши (2.1),
запишем выражения для деформаций
; ; ;
(). (2.10)
На основе закона Гука (2.3) и выражений для деформаций (2.10) найдем
напряжения
;
;
(). (2.11)
Уравнения равновесия в напряжениях (2.6) позволяют записать
(). (2.12)
Подставляя в уравнение (2.12) соотношения для напряжений (2.11) и интегрируя с
учетом условий на поверхностях слоев, получаем
(), (2.13)
где
;
;
; .
Представленные функции по поперечной координате обеспечивают выполнение
условий межслоевого контакта (2.7) и условий на поверхности конструкции (2.8).
Поперечные нормальные напряжения найдем, интегрируя уравнение
(). (2.14)
Подставляя в это уравнение выражения для касательных напряжений (2.1.13) и
интегрируя с учетом условий на поверхностях слоев, получаем
(), (2.15)
где
;
;
; .
Представленные функции по поперечной координате обеспечивают выполнение
условий межслоевого контакта (2.7) и условий на поверхности конструкции (2.8).
Используя закон Гука (2.3), находим деформации поперечного обжатия
. (2.16)
Соотношение Коши
(2.17)
позволяет определить нормальные перемещения. Подставив в выражение (2.16)
деформации (