РАЗДЕЛ 2
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ПОРИСТЫХ, НАСЫЩЕННЫХ ЖИДКОСТЬЮ, СРЕДАХ ПРИ ИМПУЛЬСНОМ НАГРУЖЕНИИ
Решение задач управления фильтрационными свойствами пористых насыщенных сред связано с установлением взаимосвязи с возмущениями, возбуждаемыми в гетерогенной среде при импульсном нагружении, в частности, при высоковольтном электрическом разряде.
2.1. Модели пористых, насыщенных жидкостью, сред
2.1.1. Общие положения
Механика деформируемых насыщенных сред является частным случаем гетерогенных систем, одна из фаз которых (твердая) образует каркас, поры которого заполнены другими фазами - жидкостями.
Изучение динамических процессов в пористых, насыщенных жидкостью, средах при импульсном нагружении в реальных деформируемых глубинных пластах, производится с помощью математических моделей, характеризующихся совокупностью уравнений, которые совместно с уравнениями движения образуют замкнутую систему и определяют поведение сплошной среды в рассматриваемом процессе. Для обеспечения единственности решения этой системы уравнений ее следует подчинить начальным и граничным условиям. Всякой модели отвечает некоторая схематизация свойств реальной среды и поэтому критерием применимости модели является проверка соответствия полученных с ее помощью расчетных результатов опытных данных [156]. Основы динамики грунтов как многофазных сред были заложены в работах Н.Е. Жуковского, К. Терцаги, Н.М. Герсеванова, Я.И. Френкеля, М. Био, Ф. Гассманна и др. Подробный критический обзор ранних работ в этой области приведен в [157]. При этом отмечаются две фундаментальные работы [158, 159], в которых разработана система определяющих соотношений для деформируемых пористых, насыщенных жидкостью, сред. Уравнения Био - Френкеля в более строгом изложении, с учетом зависимости пористости от времени, были получены в [157, 160, 161]. Они будут приведены в подпункте 2.1.2; отметим лишь основные допущения, принятые в [157 - 161] при их выводе [162]:
- грунт состоит из двух условно сплошных взаимопроникающих фаз скелета грунта (твердые минеральные частицы) и газированной поровой жидкости. Механические свойства скелета грунта сохраняются и в случае насыщения жидкостью и определяются действием напряжений, возникающих в скелете. Изменение давления в поровой жидкости вызывает ее сжатие и движение по порам, но не влияет на деформацию скелета. Поэтому напряжения в скелете грунта называют эффективными, а давление в поровой жидкости - нейтральным [163];
- размеры пор малы по сравнению с расстоянием, на котором существенно изменяются кинематические и динамические характеристики движения;
- фазовые переходы в среде отсутствуют;
- деформации и перемещения твердой и жидкой фаз небольшие, то есть возмущения принимаются слабыми;
- газовая составляющая смеси полностью растворена в жидкости, характеризуется объемным содержанием и влияет на плотность и модуль объемной сжимаемости жидкости;
- кинетическая энергия пульсационного движения в твердой, жидкой фазах и тензор вязких напряжений в жидкости пренебрежимо малы, то есть вязкость жидкости учитывается только в силе межфазного взаимодействия;
- температурные эффекты в среде не принимаются во внимание.
Многие модели динамики насыщенных жидкостью пористых сред [164 - 169] отличаются от модели Био - Френкеля лишь видом и физической интерпретацией коэффициентов при смещениях, напряжениях и их производных. Дальнейшее развитие модель Био - Френкеля получила путем учета реальных свойств многофазного грунта: вязкости заполняющей поры жидкости и вязкоупругих свойств скелета [170 - 175], пластичности [173, 174, 176], температурных эффектов [173, 177 - 180], частичного наполнения пор жидкостью [168], анизотропии [181], наличия газовых пузырей [182], аномального затухания упругих волн [183], введения объемного содержания компонентов смеси в качестве независимой переменной [184 - 186], а также более полного учета взаимодействия фаз [187, 188], инерционных членов в уравнениях [189], более точного определения границ изменения порового давления [190]. Изложенные подходы к построению теории пористых насыщенных сред основаны частично на феноменологических, частично - на структурных представлениях, при этом они должны быть дополнены экспериментальным определением коэффициентов уравнений. В [179, 191] построена полная система уравнений и определены коэффициенты как функции свойств фаз и геометрических параметров структуры на основе единственно структурного подхода.
Кроме рассмотренных моделей пористых насыщенных сред зачастую (в основном для мягких грунтов) используются модели, заменяющие уравнения двухфазной пористоупругой среды уравнениями эквивалентной "однофазной" среды, которая описывается некоторыми обобщенными параметрами. В этом случае скорости фаз считаются равными, а решение уравнений динамики водонасыщенного грунта сводится к решению уравнений гидродинамики [192 - 194] или динамической теории упругости [195, 196]. Подобные модели применяются при решении класса задач, связанных с динамикой грунтовых сред при взрывных нагрузках [197, 198], и находятся за пределами исследуемых явлений и процессов.
Отметим также существование моделей [179, 180, 191, 199, 200], описывающих движения пористых насыщенных сред как различного рода случайные процессы.
2.1.2. Уравнения динамики пористых насыщенных жидкостью сред
Прежде, чем выписывать соответствующие уравнения, условимся в следующих обозначениях. В целях простоты письма и придания уравнениям, соотношениям и формулам обозримого и компактного вида условимся в необходимых случаях пространственные переменные , и обозначать через , предписывая значения индекса 1, 2 и 3 соответственно , и ; этими же индексами будем нумеровать проекции векторных величин на соответствующие оси координат. Сокращенно операцию частного дифференцирования функции по пространственным переменным и будем обозначат