РОЗДІЛ 2
ГРАНИЧНА РІВНОВАГА КОМПОЗИЦІЇ З АБСОЛЮТНО ЖОРСТКИМ ВКЛЮЧЕННЯМ
Ще до втрати утримувальної здатності конструкційних матеріалів із високомодульними включеннями у них відбуваються процеси локального руйнування: відшарування включень, порушення адгезійних зв'язків, розпушення матеріалу, нелінійне та пластичне деформування матриці чи контактного прошарку між компонентами. Тому для розуміння кінетики руйнування конструкційних матеріалів із включеннями необхідний детальний аналіз полів напружень та деформацій біля таких концентраторів з додатковим урахуванням явищ нелінійного деформування чи розшарування.
Локальні зони передруйнування можуть мати різноманітні форми й отримання точних розв'язків відповідних задач для різних випадків навантаження, геометрії тіла чи включення пов'язане зі значними математичними труднощами. Один з ефективних підходів до розв'язання проблеми полягає в моделюванні їх тонкими прошарками матеріалу, в яких напруження досягають зсувної межі міцності чи при пластичному деформуванні зсувного порогу текучості.
В цьому розділі сформульовано постановку та отримано розв'язки двовимірних модельних задач для тіла з абсолютно жорстким включенням, що не містять особливостей у напруженнях. Запроваджено математичну модель деформування тіла з лінійним включенням, що передбачає двофазну зону передруйнування (ослабленого контакту). Це дало можливість уникнути сингулярності напружень в околах країв включення та отримати механічно коректні обмежені напруження в усіх точках композиції. Досліджено розвиток локалізованих зон передруйнування за дії зосереджених сил та навантаження на нескінченності, вплив ділянки розпушення та зсувної границі міцності контактних меж. Вивчаються два варіанти розвитку локального руйнування в композиції: відшарування включення чи його розрив. Для кожного із механізмів знайдено значення граничних навантажень та встановлено довжину включення, яка визначає той чи інший механізм розвитку локального руйнування в композиції. При довжині включення більшій за критичну довжину зміни характеру руйнування відбувається його розрив, при меншій - відшарування від матриці. Уведення в крайові умови задачі ділянки розпушення дозволило уникнути особливостей напружень в околах кінців включення та отримати обмежені напруження в усіх точках композиції, які дають механічно коректну картину деформування.
Для розв'язання задачі використовуються методи теорії аналітичних функцій комплексної змінної та апарат потенціалів Колосова-Мусхелішвілі. Моделювання зон передруйнування тонкими прошарками матеріалу, в яких напруження досягають границі зсуву дозволяє привести задачу до змішаної задачі математичної теорії пружності для тіла з включенням.
2.1. Напружено-деформований стан та умови граничної рівноваги
Властивість пластичних деформацій концентруватися вздовж вузьких смуг установлено як точними розв'язками пружнопластичних задач так і експериментально. При достатньо великій довжині смуг у нелінійній механіці руйнування широко використовується заміна їх тріщинами, поверхні яких взаємодіють між собою по деякому закону, тобто нехтується шириною смуги в порівнянні з її довжиною. Тріщини імітуються розривами переміщень при заданих на їх поверхнях самоурівноважених напружень. Якщо сили взаємодії між берегами тріщини встановлені, задача приводиться до деякої змішаної задачі лінійної теорії пружності.
2.1.1. Основні положення моделі. Комплексні потенціали задачі
За умов плоскої задачі теорії пружності розглянемо однорідне ізотропне тіло, що містить абсолютно жорстке стрічкове включення завдовжки 2a. Осі декартової системи координат збігаються з осями геометричної симетрії композиції (рис. 2.1). Міцність матеріалу межі матриця-включення вважаємо не меншою міцності матриці. На площину діють рівномірно розподілені на нескінченності сталі напруження
, . (2.1)
Околи вершин включення є місцями найінтенсивнішого локального деформування. Аналіз плоского напруженого стану такої композиції за пружним розв'язком [16, 289] свідчить, що максимальні дотичні напруження мають місце в околах кінців включення уздовж його межі з пластиною. Вважаємо, що саме тут і зароджуються зони передруйнування, просуваючись від кожного краю до центральної частини уздовж межі пластина-включення, і складаються з двох ділянок: малої області розпушення та ділянки пластичного деформування . При цьому виконуються такі крайові умови: на ділянках розпушення (ослабленого, неідеального контакту) дотичні напруження лінійно зростають від нуля до свого граничного значення -
, (2.2)
а на ділянках пластичного деформування вони сталі -
. (2.3)
На ділянці зберігається ідеальний контакт і тому поздовжні деформації там відсутні:
. (2.4)
Поза межами включення на його продовженні дотичні напруження відсутні: . Величину можна трактувати по різному: як теоретичну зсувну міцність межі поділу, тобто сили притягання двох атомних площин контактної межі пластина-включення, або як технічну зсувну міцність межі поділу (якщо вона не вища від міцності складових) з урахуванням її структурних недосконалостей, чи за пластичного деформування - як зсувний поріг пластичності (довільної із компонент чи контактного прошарку); , , - компоненти тензора напружень; - компоненти вектора переміщень відповідно уздовж декартових координат та ; знаки "+" та "-" відповідають граничним значенням на дійсній осі відповідно з верхньої (0) та нижньої (0) півплощин; для ;-1 для ;0 для .
Таке подання дозволяє привести розв'язання поставленої нелінійної задачі до задачі лінійної теорії пружності. Значення параметра знаходимо з додаткової фізичної умови, а задаємо - умови для його обчислення поки що немає. Його доцільно пов'язати з розмірами структурних елементів (зерен) матеріалу адгезійного прошарку, що виражає інтегральний вплив неоднорідності структури на напружено-деформований стан. Запровадження у такий спосіб зон передруйнування дає можливість уникнути особл