РАЗДЕЛ 2
РАЗРАБОТКА СТРУКТУРНОГО МЕТОДА
ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПОЛЗУЧЕСТИ
ПЛАСТИН
Применение теории R - функций к новым классам задач требует, прежде всего, выбора вариационных принципов и построения соответствующих функционалов. Для решения задач ползучести пластин в качестве основных используются: вариационные принципы Лагранжа, Кастильяно, Рейсснера. В настоящей работе для вариационной постановки задачи использованы два принципа - принцип Лагранжа и принцип Сэндерса, Мак-Комба, Шлехте (аналог принципа Рейсснера).
2.1. Вариационная постановка задачи ползучести
на основе функционала Сэндерса, Мак-Комба и Шлехте
Проблема исследования напряженно-деформированного состояния пластин, в частности при ползучести, может быть сформулирована как задача нахождения стационарного значения некоторого функционала.
Рассмотрим смешанный функционал [40, 99]:
, (2.1)
где и - независимые величины;
- кинематически возможные скорости перемещений;
- скорости изменения поверхностных нагрузок, заданные на поверхности ;
- массовые силы;
- объем тела до деформации.
Массовые силы в дальнейшем полагаем отсутствующими
Вариационный принцип Сэндерса, Мак-Комба и Шлехте запишется в виде:
При варьировании скоростей перемещений мы должны потребовать, чтобы выполнялись геометрические граничные условия на поверхности.
При выводе смешанного функционала для пластин примем, что [40]
, , (2.2)
где , - силовые параметры.
Подставив формулы (1.1), (1.2), (1.6), (2.2) в (2.1) и выполнив интегрирование по толщине, получим функционал для пластины на основе смешанного вариационного принципа Сэндерса, Мак-Комба и Шлехте:
, (2.3)
где ; ;
, - внешняя нормаль и касательная к контуру ;
- направляющие косинусы нормали к контуру .
. (2.4)
. (2.5)
Можно показать, что изгибающие и крутящие моменты и усилия в плоскости связаны с параметрами в формуле (2.2) следующими соотношениями
Найдем первую вариацию функционала (2.3) и приравняем ее нулю:
. (2.6)
Можно показать, что из равенства нулю первого интеграла в формуле (2.6) следует
(k,l=1,2).
Используя формулу Остроградского-Гаусса для оставшихся интегралов, можно получить
, (k,l=1,2). (2.7)
Приравнивая нулю коэффициенты при независимых вариациях в интеграле по площади, получим систему уравнений равновесия пластины
. (2.8)
Для того, чтобы получить статические граничные условия рассмотрим контурные интегралы в вариационном уравнении (2.7). Учитывая формулы:
; ;
; ,
получим
, (2.9)
где
(2.10)
Из условия равенства нулю контурного интеграла в формуле (2.9) получаем граничные условия:
. (2.11)
Таким образом, на каждом из контуров пластины можно сформулировать по четыре граничных условия. Требуемые варианты граничных условий при решении практических задач можно сформулировать из условия (2.9).
Рассмотрим граничные условия для различных типов закрепления пластины.
1. Жесткая заделка:
(2.12)
2. Шарнир, препятствующий смещению края в тангенциальном направлении:
(2.13)
3. Неподвижный шарнир
(2.14)
4. Свободный край
. (2.15)
Заменяя в (2.3) скорости величин самими величинами и отбрасывая добавки, связанные с ползучестью, можно получить функционал для задачи упругого деформирования пластин.
2.2. Вариационная постановка задачи ползучести на основе
функционала в форме Лагранжа
Функционал в форме Лагранжа имеет вид [34]:
, (2.16)
где - кинематически возможные скорости перемещений;
- компоненты тензора скоростей полных деформаций.
Скорости деформаций ползучести в (2.16) считаются фиксированными и не варьируются.
Подставляя в (2.16) формулы (1.1), (1.2), (1.5) и выполняя интегрирование по толщине пластины, получим следующий функционал для тонкой пластины, находящейся в условиях ползучести
. (2.17)
Можно показать, что - квадратичная функция указанных переменных.
В функционале (2.17) введены обозначения:
; ; ;
; ; ;
; ; ; (2.18)
; ;
; ;
; . (2.19)
Разрешающую систему уравнений равновесия и граничные условия получим, вычислив первую вариацию функционала (2.17) и приравняв ее нулю:
. (2.20)
Применяя формулу Остроградского-Гаусса к (2.20), запишем следующее вариационное уравнение:
. (2.21)
Приравнивая между собой коэффициенты при независимых вариациях в интеграле по площади, получим систему уравнений равновесия пластины находящейся в условиях ползучести:
;
; (2.22)
где - дифференциальные операторы в частных производных:
; ;
; ;
Нетрудно убедиться, что суммарный порядок дифференциальных операторов, расположенных на главной диагонали (при ) равен восьми, что свидетельствует об общем 8-м порядке системы уравнений равновесия.
Можно показать, что для квадратичной функции и обобщенных усилий справедливы следующие соотношения:
; ;
; ;
; ; (2.23)
С учетом соотношений (2.23), контурный интеграл в вариационном уравнении (2.21) можно представить в виде:
Здесь введены обозначения:
. (2.24)
Из условия можно сформулировать по четыре граничных условия на каждом контуре пластины.
;
;
;
. (2.25)
Рассмотрим различные виды граничных условий.
1. Подвижная заделка:
, (2.26)
2. Жесткая заделка:
(2.27)
3. Шарнир, препятствующий смещению края в тангенциальном направлении:
, , , . (2.28)
4. Неподвижный шарнир:
, . (2.29)
5. Свободный край
, , , (2.30)
Статические граничные условия являются естественными для рассмотренных функционалов.
Уравнения (2.22) являются основными (разрешающими) для решения краевых задач ползучести тонких пластин. Из них легко получить уравнения упругого деформирования, пол