ГЛАВА 2
МНОГОКРАТНОЕ РАССЕЯНИЕ И ЭРГОДИЧНОСТЬ
Формализм, изложенный в первой главе, является общим, и применим как к
рассеивающему объекту в виде единого геометрически связного тела, так и к
объекту, состоящему из нескольких отдельных тел. Более того, многие
существующие методы решения уравнений Максвелла также применимы к объектам с
произвольной морфологией. Эти методы основаны на рассмотрении объекта как
единого рассеивателя и дают полное рассеянное поле в любой точке пространства.
Однако, если рассеивающий объект представляет собой группу из нескольких
частиц, как, например, облако водных капель, то зачастую оказывается удобным
представить полное рассеянное поле в виде векторной суперпозиции полей,
рассеянных отдельными частицами, и ввести, тем самым, концепцию многократного
рассеяния. Это можно сделать в рамках формализма уравнений Фолди–Лакса, что и
будет основной темой данной главы. Мы также обсудим фундаментальное понятие
эргодичности случайного ансамбля частиц и проиллюстрируем его на примере
приближения однократного рассеяния. Это позволит нам ввести ряд характеристик
светорассеяния, играющих важную роль в теориях переноса излучения и слабой
локализации.
2.1. Уравнения Фолди–Лакса
Рассмотрим фиксированную группу, состоящую из N частиц (см. рис. 1.1), и
запишем полное электрическое поле в точке r в следующем виде:
(2.1)
где – частичное поле, рассеянное i-й частицей. Частичные рассеянные поля можно
найти, решив векторные так называемые уравнения Фолди–Лакса, которые следуют
непосредственно из объемного интегрального уравнения (1.6) и являются точными
[14, 30, 202, 263]. А именно, i-е частичное рассеянное поле дается формулой
(2.2)
в которой – объем, занятый i-й частицей, а – электрическое поле, «возбуждающее»
i-ю частицу. N тензоров можно найти, решая последовательно следующее уравнение
Липпмана–Швингера:
(2.3)
Сравнение (2.3) с (1.9) показывает, что для каждого i является по сути диадным
оператором перехода i-й частицы по отношению к фиксированной лабораторной
системе координат, определенным при отсутствии всех других частиц. Таким
образом, N диадных операторов перехода являются совершенно независимыми. Однако
«возбуждающие» поля зависят друг от друга и должны быть найдены из следующей
системы N зацепляющихся линейных интегральных уравнений:
(2.4)
Вообще говоря, уравнения Фолди–Лакса (2.1)–(2.4) эквивалентны уравнениям
(1.6)–(1.9). Однако, тот факт, что для каждого i является индивидуальным
свойством i-й частицы, определенным как если бы эта частица была в одиночестве,
позволяет ввести понятие многократного рассеяния. Это будет сделано в следующем
разделе.
2.2. Что такое многократное рассеяние?
Перепишем уравнения Фолди–Лакса в следующей компактной операторной форме:
(2.5)
(2.6)
где
(2.7)
Итерируя (2.5), получаем:
(2.8)
тогда как подстановка (2.8) в (2.6) дает выражение, которое можно
интерпретировать как разложение полного рассеянного поля по кратностям
рассеяния [162]:
(2.9)
(2.10)
Действительно, диадные операторы перехода независимы друг от друга и каждый из
них может быть интерпретирован как индивидуальный и полный электромагнитный
идентификатор соответствующей частицы. Поэтому можно рассматривать как
частичное рассеянное поле, создаваемое i-й частицей в ответ на возбуждение
только со стороны падающего поля, – как частичное поле, создаваемое той же
частицей в ответ на возбуждение со стороны j-й частицы, которая, в свою
очередь, реагирует на возбуждение со стороны падающего поля, и т. д. Таким
образом, первый член в правой части (2.10) можно интерпретировать как сумму
всех однократно рассеянных частичных полей, второй член описывает суммарный
вклад всех частичных полей, рассеянных дважды, и т. д. Первый член в правой
части (2.9) представляет нерассеянное, т. е. падающее поле. Только что
описанная интерпретация (2.9) и (2.10) в терминах порядков рассеяния пояснена
графически на рис. 2.1.
Мы вскоре убедимся, что формулы (2.9) и (2.10) являются очень плодотворным
способом записи исходных уравнений Фолди–Лакса, и что использование
терминологии многократного рассеяния является удобным и компактным способом
иллюстрации различных следствий уравнений Фолди–Лакса. Важно, однако, понимать,
что помимо своей полезности как средства интерпретации и иллюстрации концепция
многократного рассеяния не соответствует реальному физическому процессу в
рамках монохроматического представления электродинамики. Например, слагаемое в
правой части (2.10) не может быть интерпретировано как описывающее следующую
последовательность событий: падающий луч света (или «сгусток электромагнитной
энергии», или «фотон») сначала подлетает к l-й частице; затем претерпевает акт
рассеяния на l-й частице в направлении j-й частицы; затем подлетает к j-й
частице; затем претерпевает акт рассеяния на j-й частице в направлении i-й
частицы; затем подлетает к i-й частице; затем претерпевает акт рассеяния на i-й
частице в направлении точки наблюдения; и, наконец, прибывает в точку
наблюдения. Действительно, как следует из (2.4), все взаимные электромагнитные
возбуждения одной частицы другой происходят одновременно и не являются
дискретными и упорядоченными событиями. Чисто математический характер
интерпретации уравнения (2.10) в терминах многократного рассеяния становится
особенно очевидным, если принять во внимание, что это уравнение является общим
и применимо не только к группе отдельных частиц, но и к единому геометрически
связному телу, мысленно разбитому на N произвольных непересекающихся частей
Удобно представлять разложение полного эл