розділ 2).
Побудова твірних торса проективною відповідністю на прямолінійних рядах - метод
:makeRange(). Доповнимо вихідні точки A, B, C, D, E', F', G' задання торса
Т(4,3) ще точками E, F, G, H, K, де E=ABЗE'F'G', H=ACЗE'F'G' і K=BDЗE'F'G' -
точки перетину площини E'F'G' з прямою АВ та подвійними твірними торса AC і BD;
F, G - точки дотику площини E'F'G' з коніками s2 і t2 (FG є твірною торса)
побудованих за допомогою т. Бріаншона Б1=BHЗEC і Б2=AKЗED (рис.3.17,б). Ці дані
визначають два тристоронники AEH і BEK, які описані навколо напрямних конік s2
і t2 з трьома точками дотиками B, C, F і A, D, G на кожній із них.
Твердження. Конфігурація з п’яти дотичних прямих aєb, c, d, f і g напрямних
конік s2 і t2 з трійками інцидентних точок aєb(A,B,E), c(A,C,H), d(B,D,K),
f(E,F,H) і g(E,G,K), є розширеним визначником торса Т(4,3), на основі якого
реалізуються методи його формування та дослідження.
Взагалі, побудова твірних торса Т(4,3) зводиться до пошуку на коніках s2 і t2
таких точок, з яких дотичні прямі до s2 і t2 перетинаються в одній точці на
прямій перетину площин цих конік. Розширений визначник дозволяє реалізувати
чотири алгоритми такого пошуку із залученням різних геометричних форм 1-го
ступеня, які виключають ітераційні процеси.
Властивість 1. Торс Т(4,3) є носієм проективно-відповідних трійок
а(ABЕ)^c(CAH)^d(BDK) і а(ABE)^f(FEH)^g(EGK) прямолінійних рядів.
Ця властивість торса Т(4,3) дозволяє для побудови його твірних використати
методи прямолінійних рядів (див. LinePoints). Носіями цих рядів можуть бути
тільки дотичні прямі до напрямних конік s2 і t2, якими є прямі aєb, c, d, f і
g. Тоді для задання проективної відповідності, наприклад, на дотичних прямих
aєb, c і d, необхідно встановити три трійки відповідних точок (рис.3.17,в), а
саме: а(ABЕ)^c(CAH)^d(BDK). Змінюючи положення точки Ei на прямій aєb,
знаходимо значення li складного відношення 4-х точок li=(ABEEi) за величиною
якого вже на прямих c і d визначаються положення відповідних точок Ci і Di із
умови: Сi=(CAHli) і Di=(BDKli). Прямі EiCi і EiDi є дотичними до конік s2 і t2,
а точки їх дотику з коніками s2 і t2 визначають твірні торса Т(4,3). На
рис.3.17,в побудовано частину полігональної сітки торса Т(4,3) для вихідних
положень точок A, B, C, D, E, F, G із умови, що вихідний точковий ряд Ei
сформовано в межах відрізка АВ. Наочно підтверджується, коли точка Ei
збігається з точкою В - твірною є пряма BD, якщо ж точка Ei збігається з точкою
А - твірною є пряма АС.
Проективна ж відповідність на дотичних aєb, f і g конік s2 і t2 визначається
іншою трійкою точок: а(ABE)^f(FEH)^g(EGK). Якщо побудувати полігональну сітку
торса за цією проективною відповідністю, то вона буде тією ж самою, що і за
відповідністю а(ABЕ)^c(CAH)^d(BDK), але мати інший розподіл твірних.
Побудова твірних торса проективною відповідністю в пучках 2-го порядку прямих -
метод :makeTangs(). В алгоритмічну частину моделі торса Т(4,3) можна також
покласти проективну відповідність в пучках 2-го порядку (див. ConicLines)
дотичних напрямних конік s2 і t2 виду: s2(acf)^t2(dbg) (рис.3.17,г). Точки
дотику відповідних дотичних до s2(acf) і t2(dbg) визначають твірні торса, а
самі дотичні перетинаються в точках прямої aєb, які знаходяться в перспективній
відповідності з пучками 2-го порядку s2(acf)^t2(dbg) прямих.
Побудова твірних торса з’єднанням проективно відповідних точок конічних рядів
із спільною дотичною - метод :makeConic(). Через те, що два проективних пучки
1-го порядку прямих з центрами на конічних рядах s2 і t2 перетинають їх в
проективно-відповідних точках, то можна також перейти до проективної
відповідності між цими конічними рядами s2 і t2 (див. модель ConicPoints).
Властивість 2. Твірні торса Т(4,3) інцидентні проективним конічним рядам
s2(CBF)^t2(ADG), де СА, BD і FG - наперед визначені твірні торса (рис.3.17,є).
Властивість 3. Відповідні точки рядів 2-го порядку s2 і t2 визначаються в
перетині проективно-відповідних пучків прямих B(ACF)^C(BAF) в площині АВС і
A(DBG)^D(BAG) в площині АВD.
Побудова твірних торса проективними пучками 1-го порядку прямих ліній - метод
:makeLines(). Торс Т(4,3) являється носієм проективних пучків 1-го порядку
прямих ліній (див. PointLines).
Властивість 4. В площинах конік s2 і t2 (рис.3.17,д) два пучки 1-го порядку
прямих з центрами А і В з проективною відповідністю B(BC,BA,BF)^A(AB,AD,AG)
перетинають напрямні коніки s2 і t2 в точках твірних торса Т(4,3). Точки А і В
являються полюсами конік s2 і t2 для поляри aєb - прямої перетину їх площин.
Таким чином, у визначник торса Т(4,3) входять геометричні форми 1-го ступеня -
прямолінійні ряди (LinePoints), пучки 1-го порядку прямих ліній (PointLines),
пучки 2-го порядку прямих (ConicLines) і точкові ряди 2-го порядку
(ConicPoints). Це дозволяє, по-перше, будувати твірні торса відповідно до
законів формування цих геометричних форм, а по-друге, використати їх для
досліджень властивостей торса Т(4,3), що є предметом подальшого розгляду.
Методи дослідження торса Т(4,3) здійснюються за його розширеним визначником
aєb(ABE), c(ACH), d(BDK), f(EFH) і g(EGK) (рис.3.18).
Перевірка належності прямої LM твірній торса - метод :isLineOn(LM). Будь-яка
пряма LM буде твірною торса Т(4,3), якщо вона перетинає напрямні коніки s2 і t2
в точках L' і M', для яких однакові складні відношення 4-х точок конічних рядів
s2(CBFL')=t2(ADGM'), або ж 4-х прямих A(AB,AD,AG,AL') = B(BC,BA,BF,BM') в
пучках 1-го порядку з центрами А і В.
Перевірка дотичності площини LMN до торса - метод :isPlaneTang(LMN). Якщо
площина LMN перетинає дотичні прямі aєb, c і d в точках L', M', N' так, що
складні відношення (ABEL')=(СAHM')=(
- Київ+380960830922