ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ .................................................. 4
ГЛАВА I. МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО.
§1.1. Классический метод Монте-Карло ................... 19
§ 1.2. Модели, используемые при исследовании спиновых
систем ............................................ 25
§ 1.3. Стандартный алгоритм метода Монте-Карло ......... 32
4
ВВЕДЕНИЕ.
5
Критическое поведение системы зависит от:
6
таким моделям относятся: классическая модель Изинга, Гейзенберга, ХУ-
7
чувствительностью фрустрированных систем к различного рода возмущающим взаимодействиям [33].
Вопрос о существовании нового киралыюго класса универсальности критического поведения на многих решетках при изучении фрустрированных систем до сих пор является дискуссионным. Многие важные физические свойства фрустрированных систем сильно зависят от геометрии решетки (от степени фрустрации). Такая зависимость может привести к сужению классов универсальности критического поведения, и этот вопрос все еще недостаточно изучен [8-11].
Большинство традиционных теоретических и экспериментальных методов исследования таких систем сталкиваются с серьезными трудностями при попытке вычислить критические параметры, определить особенности, характер и механизмы критического поведения таких систем [18, 34]. Следовательно, строгое исследование трехмерных
микроскопических гамильтонианов сложных систем методами современной теоретической физики - задача чрезвычайно сложная.
Эти и некоторые другие причины привели к тому, что фазовые переходы и критические явления интенсивно исследуются методами вычислительной физики (ВФ) - методами МК и молекулярной динамики (МД) [19-21, 35-38], которые позволяют успешно исследовать критические свойства систем со сложными реалистичными гамильтонианами в широком диапазоне температур и других внешних параметров. Данные, получаемые с помощью методов ВФ, с одной стороны, можно рассматривать как «экспериментальные» и сравнивать их с различными аналитическими приближениями, а с другой стороны - как “теоретические“ и сравнивать их с соответствующими экспериментами.
Одним из преимуществ методов численного эксперимента (ЧЭ) является то, что их применение не связано с малостью тех или иных параметров или другими трудностями, характерными для аналитических
8
подходов. Погрешность контролируется в рамках самого метода. Анализ информации, полученная на основе этих методов, позволяет судить о термодинамических и кинетических свойствах системы, об ее структуре, дает совокупность характерных конфигураций или отрезок фазовой траектории. ЧЭ стал надежным и самостоятельным инструментом в исследовании молекулярных систем наряду с физическим экспериментом и аналитическими подходами [35, 39-41].
Использование методов вычислительной физики требует создания довольно больших и сложных программ для ЭВМ. Почти все программы весьма специфичны, требуют от программиста большого опыта и внимательности и, как правило, не могут быть использованы для решения различных задач. Тем не менее, в настоящее время методам вычислительной физики уделяется значительное внимание. Об этом свидетельствует разработка специализированных ЭВМ и процессоров, строго ориентированных на эти методы и решение конкретных задач статистической механики и молекулярной физики [35].
В данной работе рассматриваются некоторые вопросы теории статических критических явлений и фазовых переходов в фрустрированных спиновых системах. Объектом исследования является полностью фрустрированная модель Изинга на кубической решетке. Рассматриваемая модель сталкивается с серьезными трудностями при исследовании традиционными теоретическими методами, особенно в области фазового перехода. В рамках этой работы методами МК проведены исследования статических критических свойств полностью фрустрированной модели Изинга на кубической решетке. Экспериментальные и теоретические данные, имеющиеся в литературе по критическим свойствам этой модели противоречивы и часто не согласуются между собой. Таким образом, исследование ФП и КЯ в этой модели целесообразно провести на основе методов ВФ [8-11, 18].
9
Другим объектом исследования является трехмерная фрустрированная модель Гейзенберга на слоистой треугольной решетке.
Интерес к этим моделям обусловлен следующими основными причинами.
Во-первых, при изучении ФС вопрос о существовании нового кирального класса универсальности на многих решетках, в частности, треугольных до сих пор является дискуссионным [9-11].
Во-вторых, многие важные физические свойства ФС сильно зависят от геометрии решетки (от степени фрустрации). Такая зависимость может привести к сужению классов универсальности критического поведения, и этот вопрос все еще недостаточно полно изучен [18].
В-третьих, первые попытки исследования этих моделей предпринимались в то время, когда мощности вычислительных машин и используемые алгоритмы метода МК не позволяли рассчитывать критические параметры с необходимой степенью точности.
Отметим также, что в литературе практически нет исследований 3(I фрустрированной модели Г ейзенберга на слоистой треугольной решетке с переменным межслойным обменным взаимодействием. До сих пор остается дискуссионным вопрос о зависимости критических индексов от изменения величины межслойного обменного взаимодействия.
Фрустрированные спиновые системы являются довольно сложными объектами для исследования даже методами МК. Как известно, вблизи критической точки метод МК сталкивается с проблемой “критического замедления”. Кроме того, в ФС существует немаловажная проблема многочисленных долин локальных минимумов энергии. Обычные методы МК плохо справляются с решением этой проблемы. Поэтому в последнее время разработано много новых вариантов алгоритмов метода МК. Для решения этой проблемы наиболее мощными и эффективными оказались репличные алгоритмы метода МК [42].
10
Поэтому нами на основе репличного алгоритма исследовано статическое критическое поведение 3 с1 фрустрированной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке с переменным межслойным обменным взаимодействием.
Таким образом, исследование ФП и КЯ, в частности фрустрированных спиновых систем, исходя из трехмерных микроскопических гамильтонианов, является важной и актуальной проблемой современной статистической физики решеточных систем.
Целью работы является исследование статических критических свойств моделей фрустрированных спиновых систем как стандартным, так и репличным алгоритмами метода Монте-Карло. В процессе выполнения работы решались следующие основные задачи:
1. Разработка комплекса программ для ЭВМ, с помощью которого можно исследовать статические критические свойства моделей с фрустрациями;
2. Исследование методом Монте-Карло статических критических свойств полностью фрустрированной модели Изинга на кубической решетке. Определение статических критических индексов теплоемкости а, намагниченности Д восприимчивости индекса Фишера г\ и индекса радиуса корреляции у этой модели, как традиционными степенными функциями, так и на основе теории конечно-размерного скейлинга (КРС);
3. Исследование репличным алгоритмом метода Монте-Карло магнитных и киральных статических критических свойств 3с1 фрустрированной антиферромагнитной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке. Определение магнитных и киральных критических индексов а, Д Д, у; уь 7, ии ук этой модели;
4. Исследование критического поведения и зависимости критических индексов Зс! фрустрированной модели Гейзенберга на слоистой
11
треугольной решетке от величины межслойного обменного взаимодействия;
5. Проверка справедливости теории конечно-размерного скейлинга для фрустрированных моделей.
Практическая ценность работы.
Полученные в диссертации результаты по исследованию статических критических свойств фрустрированных спиновых моделей представляют интерес для дальнейших исследований в теории магнетизма, физики фазовых переходов и статистической теории конденсированного состояния. Разработанный комплекс программ для ЭВМ формирует базу, на основе которой возможны высокоточные исследования статических критических явлений в фрустрированных спиновых системах.
Использование репличного алгоритма метода МК для исследования моделей фрустрированных спиновых систем показало, что репличные алгоритмы являются ценным инструментом при исследовании ФС, позволяют определять с высокой степенью точности критические параметры системы и являются значительно более эффективными по сравнению с классическим алгоритмом (алгоритм Метрополиса). Эти алгоритмы успешно справляются с проблемой локальных энергетических минимумов, в решении которой другие алгоритмы метода МК (стандартный алгоритм Метрополиса, одно-кластерный алгоритм Вульфа) оказались малоэффективными.
Экспериментальные результаты данной работы используются для чтения спецкурсов: «Исследование фазовых переходов и критических явлений методами Монте-Карло», «Компьютерное моделирование в физике», «Методы вычислительной физики в магнетизме», а часть программ для ЭВМ при выполнении лабораторных работ по указанным спецкурсам в Дагестанском государственном университете.
12
Научную новизну и значимость диссертации определяют основные положения, которые автор выносит на защиту:
1. Исследование критических свойств 3<1 полностью фрустрированной модели Изинга на кубической решетке. Расчет статических критических индексов теплоемкости а, намагниченности Д восприимчивости у индекса Фишера г) и индекса радиуса корреляции V этой модели. Доказательство принадлежности 3с1 полностью фрустрированной модели Изинга на простой кубической решетке к новому классу универсальности критического поведения.
2. Применение теории конечно-размерного скейлинга и репличного алгоритма метода Монте-Карло для исследования статических критических свойств моделей фрустрированных спиновых систем.
3. Исследование магнитных и киральных статических критических свойств 3с1 фрустрированной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке на основе высокоэффективного репличного алгоритма метода МК. Расчет магнитных и киральных критических индексов теплоемкости а. восприимчивости у, уъ параметров порядка Д Дь индекса Фишера г] и радиуса корреляции и, и*.
4. Доказательство существования нового кирального класса универсальности критического поведения Зс! фрустрированной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке.
5. Исследование статических критических свойств 3с1 фрустрированной антиферромагнитной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке с переменным межслойным обменным взаимодействием. Определение всех основных статических магнитных и киральных КИ.
6. Сложный комплекс программ для ЭВМ, позволяющий проводить высокоточные исследования статических критических явлений в моделях фрустрированных спиновых систем.
13
Апробация работы.
Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях, совещаниях, семинарах: II всероссийской конференции по физической электронике ФЭ-2001 (Махачкала, 2001); XVIII
международной школе-семинаре «Новые магнитные материалы микроэлектроники» (Москва, 2002); Международной конференции
«Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах» (Махачкала, 2002); Международном
симпозиуме «Порядок, беспорядок и свойства оксидов» ОМА-2003 (Сочи,
2003); Всероссийской школе-семинаре «Физика фазовых переходов» (Махачкала, 2003); II Байкальской международной конференции «Магнитные материалы» (Иркутск, 2003); XXX Международной зимней школе физиков-теоретиков «Коуровка-2004» (Екатеринбург, Челябинск,
2004); XIX международной школа-семинаре «Новые магнитные материалы микроэлектроники» (Москва, 2004); Международной конференции
«Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах» (Махачкала, 2004); Международной
конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах» (Махачкала, 2005); XX международной школа-семинаре «Новые магнитные материалы микроэлектроники» (Москва, 2006); 9-м международном симпозиуме «Упорядочение в металлах и сплавах» ОМА-9. (Ростов-иа-Доиу - пос.Лоо, 2006).
Публикации.
1. Муртазаев А.К., Рамазанов М.К. Определение класса универсальности фрустрированных систем методом Монте-Карло // Материалы II всероссийской конференции «ФЭ-2001». Махачкала: 2001- С Л 92.
- Київ+380960830922